Tetraedro Regular

Tetraedro Regular — definição, elementos, fórmulas, planificação e exercícios

Tetraedro Regular

Definição, elementos, fórmulas de área/volume, altura, esferas inscrita e circunscrita, planificação e exemplos

Tetraedro regular — todas as 6 arestas têm o mesmo comprimento e as 4 faces são triângulos equiláteros.

1) O que é

O tetraedro regular é um poliedro com 4 faces congruentes (triângulos equiláteros), 6 arestas de mesmo comprimento $a$ e 4 vértices. É um dos Sólidos de Platão e satisfaz a relação de Euler $V-E+F=4-6+4=2$.

Notação: aresta $a$, área total $S$, volume $V$, altura $h$, raios da esfera inscrita $r$ e circunscrita $R$, ângulo diedro $\theta$.

2) Fórmulas essenciais (em função de $a$)

Área de uma face: $A_{\text{face}}=\dfrac{\sqrt3}{4}\,a^2$

Área total: $S=4\,A_{\text{face}}=\sqrt3\,a^2$

Volume: $V=\dfrac{a^3}{6\sqrt2}$

Altura: $h=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\,a$

Esfera inscrita e circunscrita: $r=\dfrac{\sqrt6}{12}\,a,\quad R=\dfrac{\sqrt6}{4}\,a$

Ângulo diedro: $\theta=\arccos\!\left(\dfrac{1}{3}\right)\approx 70{,}53^\circ$

Dica-memória: $S\propto a^2$ e $V\propto a^3$; os fatores $\sqrt3$ e $\sqrt2$ nascem da geometria do triângulo equilátero e das alturas no espaço.

3) Planificação

A planificação do tetraedro é composta por quatro triângulos equiláteros. Existem duas redes (não congruentes) possíveis para “abrir” o sólido. A área da planificação é a área total $S=\sqrt3\,a^2$.

4) Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Dado $a=6$ cm, calcule área total $S$, o volume $V$, a altura $h$, o raio circunscrito $R$ e o raio inscrito $r$

Ver solução

$$\begin{aligned} S &= \sqrt3\,a^2\\ &= \sqrt3\cdot 36\\ &\approx 62{,}35\ \text{cm}^2\\[6pt] V &= \frac{a^3}{6\sqrt2}\\ &= \frac{216}{6\cdot 1{,}4142}\\ &= \frac{216}{8{,}4853}\\ &\approx 25{,}46\ \text{cm}^3\\[6pt] h &= \sqrt{\tfrac{2}{3}}\,a\\ &= 0{,}816496\cdot 6\\ &\approx 4{,}90\ \text{cm}\\[6pt] R &= \tfrac{\sqrt6}{4}\,a \approx 0{,}612372\cdot 6 \approx 3{,}67\ \text{cm}\\ r &= \tfrac{\sqrt6}{12}\,a \approx 0{,}204124\cdot 6 \approx 1{,}22\ \text{cm} \end{aligned}$$

Exemplo 2 — Dado o volume $V=40$ cm³, encontre a aresta $a$

Ver solução

$$\begin{aligned} V &= \frac{a^3}{6\sqrt2}\\ a^3 &= 6\sqrt2\,V\\ &= 6\cdot 1{,}4142\cdot 40\\ &\approx 339{,}41\\ a &\approx \sqrt[3]{339{,}41}\\ &\approx 6{,}98\ \text{cm} \end{aligned}$$

Exemplo 3 — Se $S=48\sqrt3$ cm², calcule a aresta $a$ e o volume $V$

Ver solução

$$\begin{aligned} S &= \sqrt3\,a^2\\ 48\sqrt3 &= \sqrt3\,a^2\\ a^2 &= 48\\ a &= \sqrt{48}=4\sqrt3\ \ (\approx 6{,}93\ \text{cm})\\[6pt] V &= \frac{a^3}{6\sqrt2}\\ &= \frac{(4\sqrt3)^3}{6\sqrt2}\\ &= \frac{192\sqrt3}{6\sqrt2}\\ &= 32\sqrt{\tfrac{3}{2}}\\ &\approx 39{,}19\ \text{cm}^3 \end{aligned}$$

5) Exercícios propostos

Para $a=8$ cm, calcule a área total e o volume.
Dado o volume $V=100$ cm³, determine a aresta $a$.
Se $S=100\sqrt3$ cm², calcule $a$, $h$, $R$ e $r$.
Uma peça tem altura $h=12$ cm. Encontre $a$ e o volume.
Mostre que o cosseno do ângulo diedro vale $1/3$.

6) Links internos úteis

Poliedros Sólidos de Platão Fórmula de Euler Área de triângulo Triângulos semelhantes Planificação do cubo

7) Materiais do blog

🧠 Mapas Mentais de Matemática 🎯 ENEM Matemática 📚 10 eBooks 🗃️ Banco de Questões de Matemática 📺 Canais Oficiais de Matemática

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.