Pirâmide regular
Definição, elementos, relações, fórmulas de área e volume, planificação e exemplos com contas na vertical.
1) O que é uma pirâmide regular?
- Pirâmide é o poliedro com um polígono na base e faces laterais triangulares que se encontram em um vértice.
- É regular quando a base é um polígono regular e o vértice está alinhado ao centro da base.
Elementos: \(n\) (lados da base), \(a\) (lado), \(p=n\,a\) (perímetro), \(m\) (apótema da base), \(h\) (altura), \(m’ \equiv g\) (apótema lateral), \(l\) (aresta lateral) e \(R\) (raio circunscrito da base).
2) Relações geométricas fundamentais
Para base regular de \(n\) lados, com \(\theta=\dfrac{\pi}{n}\):
Equivalências: \(a=2m\tan\theta=2R\sin\theta\) e \(m=R\cos\theta\).
3) Áreas e volume
Bases regulares frequentes
- Quadrada: \(A_b=a^2\).
- Triangular equilátera: \(A_b=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\).
- Pentagonal regular: \(A_b=\dfrac{5ar}{2}\) (com \(r=m\), apótema da base).
- Hexagonal regular: \(A_b=\dfrac{3\sqrt3}{2}a^2\).
4) Planificação
Formada por 1 polígono regular (a base) + \(n\) triângulos isósceles de base \(a\) e altura \(m’\). A soma das áreas da base e dos triângulos é a área total \(A_T\).
Compare com: Planificação do prisma pentagonal e do prisma hexagonal.
5) Guia rápido de resolução
- Identifique a base: obtenha \(a\), \(n\) → calcule \(p\), \(m\) e \(A_b\).
- Se for área lateral/total, encontre \(m’\) (direto ou via \(m’=\sqrt{h^2+m^2}\)).
- Se for volume, garanta a altura \(h\) (não confundir com \(m’\)).
- Se for dada aresta lateral \(l\), use \(l^2=(m’)^2+(a/2)^2\) ou \(l^2=h^2+R^2\).
- Conferir unidades: \(1\,\text{L}=1000\,\text{cm}^3\).
6) Exemplos resolvidos (contas na vertical)
Exemplo 1 — Volume (base quadrada)
Enunciado. Pirâmide regular de base quadrada com \(a=10\,\text{cm}\) e \(h=18\,\text{cm}\). Calcule o volume.
Ver solução
Exemplo 2 — Área total (base equilátera)
Enunciado. Base triangular equilátera com \(a=12\,\text{cm}\) e apótema lateral \(m’=15\,\text{cm}\). Calcule a área total.
Ver solução
Exemplo 3 — Encontrar a altura a partir de \(m’\) (base quadrada)
Enunciado. Em uma pirâmide regular de base quadrada, \(a=8\,\text{cm}\) e \(m’=13\,\text{cm}\). Calcule a altura \(h\).
Ver solução
7) Exercícios propostos
- Pirâmide quadrada: \(a=6\ \text{cm}\), \(h=10\ \text{cm}\). Calcule o volume.
- Pirâmide equilátera: \(a=8\ \text{cm}\), \(m’=9\ \text{cm}\). Calcule a área lateral.
- Pirâmide pentagonal regular: \(a=5\ \text{cm}\), apótema da base \(r=3{,}4\ \text{cm}\), \(h=12\ \text{cm}\). Calcule o volume.
- Pirâmide quadrada: \(a=7\ \text{cm}\), \(m’=11\ \text{cm}\). Calcule a área total.
- Pirâmide hexagonal regular: \(a=4\ \text{cm}\), \(h=9\ \text{cm}\). Calcule o volume (aprox.).
