Tipos de Triângulos

Classificação dos triângulos quanto aos lados (equilátero, isósceles e escaleno) e quanto aos ângulos (acutângulo, retângulo e obtusângulo). Inclui propriedades, testes rápidos, exemplos resolvidos e exercícios.

Estude também: Área de Triângulo · Lei dos Senos · Lei do Cosseno · Triângulos — classificação e propriedades.

Classificação quanto aos lados

Classificação de triângulos quanto aos lados: equilátero, isósceles e escaleno — Quanto aos lados: equilátero · isósceles · escaleno.

Equilátero 3 lados iguais (e 3 ângulos de \(60^\circ\)).
Área: \(\displaystyle A=\frac{L^2\sqrt{3}}{4}\). Todas as medianas, bissetrizes e alturas coincidem.

Isósceles 2 lados iguais.
Ângulos da base iguais; a altura relativa à base é também mediana e bissetriz. Se base \(a\) e lado igual \(l\), então \(h=\sqrt{l^2-(a/2)^2}\).

Escaleno 3 lados diferentes.
Sem simetrias; valem as propriedades gerais (desigualdade triangular etc.).

\[ \textbf{Desigualdade triangular:}\quad \begin{cases} a

Exemplo 1 — classificação pelos lados

Um triângulo possui lados \(6\), \(6\) e \(5\) cm. Classifique-o quanto aos lados.

Ver solução

Dois lados iguais (\(6=6\)) e o terceiro diferente (\(5\)) ⇒ triângulo isósceles.

Classificação quanto aos ângulos

Classificação de triângulos quanto aos ângulos: acutângulo, retângulo e obtusângulo — Quanto aos ângulos: acutângulo · retângulo · obtusângulo.

Acutângulo todos os ângulos são agudos (\(<90^\circ\)).

Retângulo possui um ângulo reto (\(90^\circ\)); lados que o formam são os catetos e o lado oposto é a hipotenusa.

Obtusângulo possui um ângulo obtuso (\(>90^\circ\)).

\[ \textbf{Teste pelo Teorema de Pitágoras (converso):}\ (c=\text{maior lado}) \] \[ a^2+b^2=c^2 \ \Rightarrow\ \text{retângulo} \] \[ a^2+b^2>c^2 \ \Rightarrow\ \text{acutângulo} \] \[ a^2+b^2

Exemplo 2 — classificação pelos ângulos

Um triângulo tem lados \(7\), \(24\) e \(25\) cm. Classifique-o quanto aos ângulos.

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\[ \begin{aligned} c&=25 \ (\text{maior lado})\\ 7^2+24^2&=49+576=625\\ c^2&=25^2=625\\ \Rightarrow&\ 7^2+24^2=c^2 \ \Rightarrow\ \textbf{retângulo}. \end{aligned} \]

Propriedades úteis

Soma dos ângulos internos: \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\).
Medianas intersectam-se no baricentro (divide cada mediana na razão \(2:1\)).
Bissetrizes internas encontram-se no incentro (centro da circunferência inscrita).
Perpendiculares mediatrizes encontram-se no circuncentro (centro da circunferência circunscrita).

Para cálculos, veja: Área de Triângulo, Lei dos Senos, Lei do Cosseno.

Exemplos práticos

Exemplo 3 — área (triângulo retângulo)

Num triângulo retângulo, \(b=12\,\text{cm}\) (base) e \(h=5\,\text{cm}\) (altura). Determine a área.

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\[ \begin{aligned} A&=\frac{b\cdot h}{2}\\ &=\frac{12\cdot 5}{2}\\ &=\boxed{30\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]

Exemplo 4 — lado e tipo (Lei do Cosseno)

Em um triângulo, \(a=8\), \(b=9\) e o ângulo entre eles é \(\gamma=120^\circ\). Encontre \(c\) e classifique quanto aos ângulos.

Ver solução

\[ \begin{aligned} c^2&=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\\ &=8^2+9^2-2\cdot 8\cdot 9\cos120^\circ\\ &=64+81-144\cdot(-\tfrac12)\\ &=145+72=217\\ c&=\sqrt{217}\approx 14{,}73\\ \text{Como }\gamma=120^\circ &>90^\circ,\ \textbf{obtusângulo}. \end{aligned} \]

Lista de exercícios — Tipos de Triângulos

Cada questão tem 5 alternativas. Clique em Mostrar solução para ver o gabarito comentado.

(1)

Os lados de um triângulo medem \(5\), \(5\) e \(8\) cm. Classifique-o quanto aos lados.

Equilátero
Isósceles
Escaleno
Retângulo
Obtusângulo

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Dois lados iguais ⇒ isósceles. Resposta: B.

(2)

Um triângulo tem lados \(7\), \(9\) e \(12\) cm. Classifique-o quanto aos lados e aos ângulos.

Equilátero e acutângulo
Isósceles e retângulo
Escaleno e obtusângulo
Escaleno e retângulo
Isósceles e obtusângulo

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\[ c=12,\quad 7^2+9^2=130Resposta: C.

(3)

As medidas \(9\), \(40\) e \(41\) cm formam um triângulo de qual tipo?

Equilátero
Isósceles retângulo
Escaleno retângulo
Escaleno obtusângulo
Isósceles acutângulo

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\[ 9^2+40^2=81+1600=1681=41^2\Rightarrow \text{retângulo}. \ \text{Lados distintos} \Rightarrow \text{escaleno}. \] Resposta: C.

(4)

Um triângulo equilátero tem lado \(10\) cm. Sua área é:

\(25\sqrt{2}\ \text{cm}^2\)
\(50\ \text{cm}^2\)
\(25\sqrt{3}\ \text{cm}^2\)
\(100\ \text{cm}^2\)
\(10\sqrt{3}\ \text{cm}^2\)

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\(A=\frac{L^2\sqrt{3}}{4}=\frac{100\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}\). Resposta: C.

(5)

Num triângulo isósceles, os lados iguais medem \(10\) cm e a base mede \(12\) cm. A área vale:

\(36\ \text{cm}^2\)
\(40\ \text{cm}^2\)
\(45\ \text{cm}^2\)
\(48\ \text{cm}^2\)
\(52\ \text{cm}^2\)

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\(h=\sqrt{10^2-(12/2)^2}=\sqrt{100-36}=8\). \(A=\frac{12\cdot 8}{2}=48\). Resposta: D.

(6)

Num triângulo retângulo, os catetos valem \(6\) cm e \(8\) cm. A hipotenusa mede:

Mostrar solução

\(c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\). Resposta: B.

(7)

Os segmentos \(3\), \(4\) e \(8\) cm formam:

Triângulo equilátero
Triângulo isósceles
Triângulo escaleno
Triângulo retângulo
Não formam triângulo

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\(3+4=7\not>8\). Não satisfaz a desigualdade triangular. Resposta: E.

(8)

Em um triângulo, \(a=7\) cm, \(b=11\) cm e o ângulo entre eles é \(60^\circ\). O lado oposto mede, aproximadamente:

\(8{,}0\ \text{cm}\)
\(9{,}0\ \text{cm}\)
\(9{,}44\ \text{cm}\)
\(9{,}64\ \text{cm}\)
\(10{,}2\ \text{cm}\)

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\(c^2=7^2+11^2-2\cdot7\cdot11\cos60^\circ=93\Rightarrow c\approx 9{,}64\ \text{cm}\). Resposta: D.

(9)

Um triângulo com lados \(13\), \(14\) e \(15\) cm é:

Isósceles e retângulo
Escaleno e acutângulo
Escaleno e retângulo
Isósceles e obtusângulo
Equilátero

Mostrar solução

\(c=15\). \(13^2+14^2=365>225\Rightarrow\) acutângulo; lados distintos ⇒ escaleno. Resposta: B.

(10)

Num triângulo isósceles, cada ângulo da base mede \(50^\circ\). O ângulo do vértice mede:

\(60^\circ\)
\(70^\circ\)
\(80^\circ\)
\(90^\circ\)
\(100^\circ\)

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\(50^\circ+50^\circ+\theta=180^\circ \Rightarrow \theta=80^\circ\). Resposta: C.

(11)

No triângulo equilátero de lado \(6\) cm, a altura mede:

\(3\ \text{cm}\)
\(3\sqrt{2}\ \text{cm}\)
\(3\sqrt{3}\ \text{cm}\)
\(6\ \text{cm}\)
\(6\sqrt{3}\ \text{cm}\)

Mostrar solução

\(h=\frac{L\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\). Resposta: C.

(12)

Num triângulo retângulo, a hipotenusa é \(13\) cm e um cateto mede \(5\) cm. O outro cateto mede:

\(10\ \text{cm}\)
\(11\ \text{cm}\)
\(12\ \text{cm}\)
\(13\ \text{cm}\)
\(14\ \text{cm}\)

Mostrar solução

\(b=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\ \text{cm}\). Resposta: C.

Resumo rápido

\[ \textbf{Área (geral):}\quad A=\frac{b\cdot h}{2} \]

\[ \textbf{Heron:}\quad A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\ \ s=\frac{a+b+c}{2} \]

\[ \textbf{Lei dos Senos:}\quad \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R \]

\[ \textbf{Lei do Cosseno:}\quad c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma \quad(\text{análogas para } a,b) \]

Continue com: Área de Triângulo · Lei dos Senos · Lei do Cosseno.

Tipo de Triângulos

Tipos de Triângulos

Classificação quanto aos lados

Exemplo 1 — classificação pelos lados

Classificação quanto aos ângulos

Exemplo 2 — classificação pelos ângulos

Propriedades úteis

Exemplos práticos

Exemplo 3 — área (triângulo retângulo)

Exemplo 4 — lado e tipo (Lei do Cosseno)

Lista de exercícios — Tipos de Triângulos

(1)

(2)

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(5)

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(7)

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(9)

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Resumo rápido

Materiais do Matemática Hoje

Triângulo Escaleno

Área de Triângulo

Triângulo Retângulo

"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

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