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Tipo de Triângulos

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Tipos de Triângulos — classificação, propriedades e exemplos

Tipos de Triângulos

Classificação dos triângulos quanto aos lados (equilátero, isósceles e escaleno) e quanto aos ângulos (acutângulo, retângulo e obtusângulo). Inclui propriedades, testes rápidos, exemplos resolvidos e exercícios.

Estude também: Área de Triângulo · Lei dos Senos · Lei do Cosseno · Triângulos — classificação e propriedades.

Classificação quanto aos lados

Classificação de triângulos quanto aos lados: equilátero, isósceles e escaleno
Quanto aos lados: equilátero · isósceles · escaleno.

Equilátero 3 lados iguais (e 3 ângulos de \(60^\circ\)).
Área: \(\displaystyle A=\frac{L^2\sqrt{3}}{4}\). Todas as medianas, bissetrizes e alturas coincidem.

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Isósceles 2 lados iguais.
Ângulos da base iguais; a altura relativa à base é também mediana e bissetriz. Se base \(a\) e lado igual \(l\), então \(h=\sqrt{l^2-(a/2)^2}\).

Escaleno 3 lados diferentes.
Sem simetrias; valem as propriedades gerais (desigualdade triangular etc.).

\[ \textbf{Desigualdade triangular:}\quad \begin{cases} a

Exemplo 1 — classificação pelos lados

Um triângulo possui lados \(6\), \(6\) e \(5\) cm. Classifique-o quanto aos lados.

Ver solução
Dois lados iguais (\(6=6\)) e o terceiro diferente (\(5\)) ⇒ triângulo isósceles.

Classificação quanto aos ângulos

Classificação de triângulos quanto aos ângulos: acutângulo, retângulo e obtusângulo
Quanto aos ângulos: acutângulo · retângulo · obtusângulo.

Acutângulo todos os ângulos são agudos (\(<90^\circ\)).

Retângulo possui um ângulo reto (\(90^\circ\)); lados que o formam são os catetos e o lado oposto é a hipotenusa.

Obtusângulo possui um ângulo obtuso (\(>90^\circ\)).

\[ \textbf{Teste pelo Teorema de Pitágoras (converso):}\ (c=\text{maior lado}) \] \[ a^2+b^2=c^2 \ \Rightarrow\ \text{retângulo} \] \[ a^2+b^2>c^2 \ \Rightarrow\ \text{acutângulo} \] \[ a^2+b^2

Exemplo 2 — classificação pelos ângulos

Um triângulo tem lados \(7\), \(24\) e \(25\) cm. Classifique-o quanto aos ângulos.

Ver solução
\[ \begin{aligned} c&=25 \ (\text{maior lado})\\ 7^2+24^2&=49+576=625\\ c^2&=25^2=625\\ \Rightarrow&\ 7^2+24^2=c^2 \ \Rightarrow\ \textbf{retângulo}. \end{aligned} \]

Propriedades úteis

  • Soma dos ângulos internos: \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\).
  • Medianas intersectam-se no baricentro (divide cada mediana na razão \(2:1\)).
  • Bissetrizes internas encontram-se no incentro (centro da circunferência inscrita).
  • Perpendiculares mediatrizes encontram-se no circuncentro (centro da circunferência circunscrita).
Para cálculos, veja: Área de Triângulo, Lei dos Senos, Lei do Cosseno.

Exemplos práticos

Exemplo 3 — área (triângulo retângulo)

Num triângulo retângulo, \(b=12\,\text{cm}\) (base) e \(h=5\,\text{cm}\) (altura). Determine a área.

Ver solução
\[ \begin{aligned} A&=\frac{b\cdot h}{2}\\ &=\frac{12\cdot 5}{2}\\ &=\boxed{30\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]

Exemplo 4 — lado e tipo (Lei do Cosseno)

Em um triângulo, \(a=8\), \(b=9\) e o ângulo entre eles é \(\gamma=120^\circ\). Encontre \(c\) e classifique quanto aos ângulos.

Ver solução
\[ \begin{aligned} c^2&=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\\ &=8^2+9^2-2\cdot 8\cdot 9\cos120^\circ\\ &=64+81-144\cdot(-\tfrac12)\\ &=145+72=217\\ c&=\sqrt{217}\approx 14{,}73\\ \text{Como }\gamma=120^\circ &>90^\circ,\ \textbf{obtusângulo}. \end{aligned} \]

Lista de exercícios — Tipos de Triângulos

Cada questão tem 5 alternativas. Clique em Mostrar solução para ver o gabarito comentado.

(1)

Os lados de um triângulo medem \(5\), \(5\) e \(8\) cm. Classifique-o quanto aos lados.

  1. Equilátero
  2. Isósceles
  3. Escaleno
  4. Retângulo
  5. Obtusângulo
Mostrar solução
Dois lados iguais ⇒ isósceles. Resposta: B.

(2)

Um triângulo tem lados \(7\), \(9\) e \(12\) cm. Classifique-o quanto aos lados e aos ângulos.

  1. Equilátero e acutângulo
  2. Isósceles e retângulo
  3. Escaleno e obtusângulo
  4. Escaleno e retângulo
  5. Isósceles e obtusângulo
Mostrar solução
\[ c=12,\quad 7^2+9^2=130Resposta: C.

(3)

As medidas \(9\), \(40\) e \(41\) cm formam um triângulo de qual tipo?

  1. Equilátero
  2. Isósceles retângulo
  3. Escaleno retângulo
  4. Escaleno obtusângulo
  5. Isósceles acutângulo
Mostrar solução
\[ 9^2+40^2=81+1600=1681=41^2\Rightarrow \text{retângulo}. \ \text{Lados distintos} \Rightarrow \text{escaleno}. \] Resposta: C.

(4)

Um triângulo equilátero tem lado \(10\) cm. Sua área é:

  1. \(25\sqrt{2}\ \text{cm}^2\)
  2. \(50\ \text{cm}^2\)
  3. \(25\sqrt{3}\ \text{cm}^2\)
  4. \(100\ \text{cm}^2\)
  5. \(10\sqrt{3}\ \text{cm}^2\)
Mostrar solução
\(A=\frac{L^2\sqrt{3}}{4}=\frac{100\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}\). Resposta: C.

(5)

Num triângulo isósceles, os lados iguais medem \(10\) cm e a base mede \(12\) cm. A área vale:

  1. \(36\ \text{cm}^2\)
  2. \(40\ \text{cm}^2\)
  3. \(45\ \text{cm}^2\)
  4. \(48\ \text{cm}^2\)
  5. \(52\ \text{cm}^2\)
Mostrar solução
\(h=\sqrt{10^2-(12/2)^2}=\sqrt{100-36}=8\). \(A=\frac{12\cdot 8}{2}=48\). Resposta: D.

(6)

Num triângulo retângulo, os catetos valem \(6\) cm e \(8\) cm. A hipotenusa mede:

  1. 9
  2. 10
  3. 11
  4. 12
  5. 13
Mostrar solução
\(c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\). Resposta: B.

(7)

Os segmentos \(3\), \(4\) e \(8\) cm formam:

  1. Triângulo equilátero
  2. Triângulo isósceles
  3. Triângulo escaleno
  4. Triângulo retângulo
  5. Não formam triângulo
Mostrar solução
\(3+4=7\not>8\). Não satisfaz a desigualdade triangular. Resposta: E.

(8)

Em um triângulo, \(a=7\) cm, \(b=11\) cm e o ângulo entre eles é \(60^\circ\). O lado oposto mede, aproximadamente:

  1. \(8{,}0\ \text{cm}\)
  2. \(9{,}0\ \text{cm}\)
  3. \(9{,}44\ \text{cm}\)
  4. \(9{,}64\ \text{cm}\)
  5. \(10{,}2\ \text{cm}\)
Mostrar solução
\(c^2=7^2+11^2-2\cdot7\cdot11\cos60^\circ=93\Rightarrow c\approx 9{,}64\ \text{cm}\). Resposta: D.

(9)

Um triângulo com lados \(13\), \(14\) e \(15\) cm é:

  1. Isósceles e retângulo
  2. Escaleno e acutângulo
  3. Escaleno e retângulo
  4. Isósceles e obtusângulo
  5. Equilátero
Mostrar solução
\(c=15\). \(13^2+14^2=365>225\Rightarrow\) acutângulo; lados distintos ⇒ escaleno. Resposta: B.

(10)

Num triângulo isósceles, cada ângulo da base mede \(50^\circ\). O ângulo do vértice mede:

  1. \(60^\circ\)
  2. \(70^\circ\)
  3. \(80^\circ\)
  4. \(90^\circ\)
  5. \(100^\circ\)
Mostrar solução
\(50^\circ+50^\circ+\theta=180^\circ \Rightarrow \theta=80^\circ\). Resposta: C.

(11)

No triângulo equilátero de lado \(6\) cm, a altura mede:

  1. \(3\ \text{cm}\)
  2. \(3\sqrt{2}\ \text{cm}\)
  3. \(3\sqrt{3}\ \text{cm}\)
  4. \(6\ \text{cm}\)
  5. \(6\sqrt{3}\ \text{cm}\)
Mostrar solução
\(h=\frac{L\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\). Resposta: C.

(12)

Num triângulo retângulo, a hipotenusa é \(13\) cm e um cateto mede \(5\) cm. O outro cateto mede:

  1. \(10\ \text{cm}\)
  2. \(11\ \text{cm}\)
  3. \(12\ \text{cm}\)
  4. \(13\ \text{cm}\)
  5. \(14\ \text{cm}\)
Mostrar solução
\(b=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\ \text{cm}\). Resposta: C.

Resumo rápido

\[ \textbf{Área (geral):}\quad A=\frac{b\cdot h}{2} \]
\[ \textbf{Heron:}\quad A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\ \ s=\frac{a+b+c}{2} \]
\[ \textbf{Lei dos Senos:}\quad \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R \]
\[ \textbf{Lei do Cosseno:}\quad c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma \quad(\text{análogas para } a,b) \]

Continue com: Área de Triângulo · Lei dos Senos · Lei do Cosseno.

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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.
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