Triângulo 3-4-5 — o triplo pitagórico mais famoso
O que é o triângulo 3-4-5 e por que ele é especial?
É um triângulo retângulo cujos comprimentos dos lados (em alguma unidade) são \(3\), \(4\) e \(5\). Ele é o exemplo canônico de triplo pitagórico: três números inteiros \(a,b,c\) tais que \(a^2+b^2=c^2\). No caso 3-4-5:
Pitágoras: \( \;3^2+4^2=5^2 \Rightarrow 9+16=25\)
Qualquer múltiplo \(k\) desse triângulo (\(3k,4k,5k\)) também forma um triângulo retângulo. Isso torna o 3-4-5 útil em problemas de campo, obras e provas — basta reconhecer a proporção.
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Propriedades e fórmulas do triângulo 3-4-5
Versão básica \((3,4,5)\)
Versão geral \((3k,4k,5k)\)
Se precisou relembrar as fórmulas de área, confira Área de triângulo. Para geometria de pontos notáveis (baricentro, incentro etc.), acesse Pontos notáveis do triângulo. Um resumo visual está nos 10 eBooks.
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Como reconhecer rapidamente um triângulo 3-4-5
- As medidas estão em razão \(3:4:5\) (ou múltiplos). Ex.: \(6,8,10\), \(9,12,15\)…
- O maior lado é a hipotenusa e vale a soma dos quadrados dos outros lados: \(c^2= a^2+b^2\).
- Os ângulos agudos são fixos (\(\approx 36{,}87^\circ\) e \(\approx 53{,}13^\circ\)).
Em problemas de triângulo retângulo, reconhecer 3-4-5 evita usar radicais e acelera contas. Isso é muito explorado em provas — vale decorar.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Dado um triângulo com lados \(6,8,10\), calcule \(A\), \(P\), \(r\) e \(R\).
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Reconhecendo \(k=2\) (\(3k,4k,5k\)\(\Rightarrow 6,8,10\)).
\(A=\frac{6\cdot 8}{2}\)
\(= \frac{48}{2}\)
\(=24\).
\(P=6+8+10\)
\(=24\).
\(r=\frac{a+b-c}{2}\)
\(=\frac{6+8-10}{2}\)
\(=2\).
\(R=\frac{c}{2}\)
\(=\frac{10}{2}\)
\(=5\).
Exemplo 2 — Um triângulo retângulo tem área \(54\) e cateto menor \(=9\). Mostre que ele é múltiplo de \(3,4,5\) e encontre os lados.
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Seja \(a=9\) e \(b\) o outro cateto. Pela área:
\(A=\frac{ab}{2}=54\)
\(\Rightarrow \frac{9\cdot b}{2}=54\)
\(\Rightarrow 9b=108\)
\(\Rightarrow b=12\).
\(c=\sqrt{9^2+12^2}\)
\(=\sqrt{81+144}\)
\(=\sqrt{225}\)
\(=15\).
Logo \((9,12,15)=(3\cdot 3,\;4\cdot 3,\;5\cdot 3)\) é múltiplo de \((3,4,5)\).
Para revisar relações úteis antes da prova, veja os Mapas Mentais.
Exercícios Triângulo 3 4 5
1) Um triângulo retângulo tem hipotenusa \(=25\) e um cateto \(=15\). Mostre que é múltiplo de 3-4-5 e encontre os outros elementos (\(A,P,r,R\)).
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Reconheça \(k=5\): \((3k,4k,5k)=(15,20,25)\).
\(A=\frac{15\cdot 20}{2}\)
\(=150\).
\(P=15+20+25\)
\(=60\).
\(r=\frac{a+b-c}{2}\)
\(=\frac{15+20-25}{2}\)
\(=5\).
\(R=\frac{c}{2}\)
\(=\frac{25}{2}\)
\(=12{,}5\).
2) Um triângulo retângulo tem perímetro \(= 48\) e segue a razão 3-4-5. Determine os lados.
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\(P=12k=48\)
\(\Rightarrow k=4\).
Lados: \(3k=12\), \(4k=16\), \(5k=20\).
3) No triângulo retângulo \(3k,4k,5k\), calcule a altura relativa à hipotenusa.
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\(h=\frac{ab}{c}\)
\(=\frac{(3k)(4k)}{5k}\)
\(=\frac{12}{5}k\).
4) Em um triângulo retângulo com cateto \(= 21\) e área \(=126\), verifique se é múltiplo de 3-4-5 e encontre os demais lados.
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\(A=\frac{ab}{2}=126\)
\(\Rightarrow \frac{21\cdot b}{2}=126\)
\(\Rightarrow 21b=252\)
\(\Rightarrow b=12\).
\(c=\sqrt{21^2+12^2}\)
\(=\sqrt{441+144}\)
\(=\sqrt{585}\)
\(= \sqrt{9\cdot 65}=3\sqrt{65}\;(\text{não é }5k)\!.
Não segue 3-4-5 (apesar de inteiro em um cateto, o outro não gera hipotenusa \(5k\)).
5) Encontre os ângulos agudos do 3-4-5.
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\(\sin\theta=\frac{3}{5}\Rightarrow \theta\approx \arcsin(0{,}6)\approx 36{,}87^\circ\).
Ângulo complementar: \(90^\circ-\theta\approx 53{,}13^\circ\).
6) Para o triângulo \(9,12,15\), calcule \(p\) e \(q\) (projeções dos catetos na hipotenusa).
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\(p=\frac{a^2}{c}=\frac{9^2}{15}=\frac{81}{15}=5{,}4\).
\(q=\frac{b^2}{c}=\frac{12^2}{15}=\frac{144}{15}=9{,}6\).
\(p+q=5{,}4+9{,}6=15=c\).
7) Um triângulo retângulo tem inrário \(r=3\) e é 3-4-5. Encontre \(k\) e os lados.
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No 3-4-5 geral, \(r=k\).
\(k=3\Rightarrow (9,12,15)\).
8) Num canteiro, mediram-se duas perpendiculares \(= 7{,}5\;m\) e \(= 10\;m\). Ajustando a terceira fita para 12,5 m, o triângulo é 3-4-5?
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Teste razão: \(7{,}5:10:12{,}5 = 3:4:5\) (multiplicando por \(2{,}5\)).
Sim, é múltiplo de 3-4-5 (com \(k=2{,}5\)).
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