Triângulo Agudo (Acutângulo)

Triângulo agudo = triângulo acutângulo: todos os ângulos \(<90^\circ\). Tópico dedicado: Triângulo Acutângulo.

SEO discreto: usamos naturalmente “triângulo agudo” e “triângulo acutângulo”.

Definição e reconhecimento

Um triângulo agudo é aquele em que todos os ângulos internos são menores que \(90^\circ\): \( \angle A<90^\circ,\ \angle B<90^\circ,\ \angle C<90^\circ \).

Critério por ângulos: \( \angle A,\angle B,\angle C < 90^\circ \). Critério por lados (Pitágoras ao contrário): se \(c\) é o maior lado, então é agudo ⇔ \(c^2 < a^2 + b^2\). Lei dos cossenos: \( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C \) com \(0<\cos C<1\) ⇒ \(C\) agudo. Soma dos ângulos: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \).

Dica rápida: o maior ângulo fica oposto ao maior lado. Em triângulos agudos, esse maior ângulo segue sendo menor que \(90^\circ\).

Propriedades importantes

Pontos notáveis (ortocentro, baricentro, incentro e circuncentro) ficam dentro do triângulo. Veja Pontos Notáveis.
As alturas são segmentos internos (no obtusângulo, algumas ficam externas).
A classificação por lados é independente: um triângulo agudo pode ser equilátero, isósceles ou escaleno.

Fórmulas essenciais (uma por linha)

Área com seno: \( \displaystyle A=\frac{ab\sin C}{2}=\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ca\sin B}{2} \). Área (Heron): \( \displaystyle A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\quad s=\frac{a+b+c}{2} \). Raios: \( \displaystyle R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin C},\quad r=\frac{A}{s} \). Alturas: \( \displaystyle h_a=\frac{2A}{a},\ h_b=\frac{2A}{b},\ h_c=\frac{2A}{c} \).

Para comparar com outras classes por ângulo: triângulo retângulo e triângulo obtusângulo. Veja também o panorama em Tipos de Triângulos.

Exemplos resolvidos (passo a passo vertical)

Exemplo 1 — Classifique o triângulo de lados \(7,8,9\).

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Maior lado: \(c=9\).

\(c^2=9^2\)
=81

\(a^2+b^2=7^2+8^2\)
=49+64
=113

Como \(81<113\), o triângulo é agudo.

Exemplo 2 — \(a=10\), \(b=11\), \(C=60^\circ\). Calcule \(c\) e classifique.

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\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)
\(=10^2+11^2-2\cdot10\cdot11\cdot\frac12\)
\(=221-110\)
\(=111\)

\(c=\sqrt{111}\approx 10{,}54\). Como \(C=60^\circ<90^\circ\), é agudo.

Exemplo 3 — Ângulos \(65^\circ\), \(70^\circ\) e \(45^\circ\). Classifique.

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Todas as medidas < \(90^\circ\) ⇒ triângulo agudo.

Reforce: Área de Triângulo.

Exercícios de múltipla escolha (com solução em abre/fecha)

1) Classifique o triângulo de lados \(5,6,8\).

A) Retângulo B) Obtusângulo C) Agudo D) Isósceles E) Equilátero

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Maior lado \(c=8\).

\(c^2=8^2\)
=64

\(a^2+b^2=5^2+6^2\)
=25+36
=61

Como \(64>61\), é obtusângulo. Alternativa B.

2) Quais ângulos caracterizam um triângulo agudo?

A) Um de 90° B) Um > 90° C) Todos < 90° D) Dois de 90° E) Um de 180°

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Definição direta. Alternativa C.

3) Dadas \(a=7\), \(b=9\), \(c=10\), classifique.

A) Agudo B) Retângulo C) Obtusângulo D) Equilátero E) Isósceles

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Maior lado \(c=10\).

\(c^2=10^2\)
=100

\(a^2+b^2=7^2+9^2\)
=49+81
=130

Como \(100<130\), é agudo. Alternativa A.

4) Se \(C=70^\circ\) e \(a=8\), \(b=11\), então o triângulo é:

A) Agudo B) Retângulo C) Obtusângulo D) Isósceles E) Escaleno

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Lei dos cossenos:

\(c^2=8^2+11^2-2\cdot 8\cdot 11\cos70^\circ\)
\(\approx 185-176\cdot 0{,}3420\)
\(\approx 124{,}808\Rightarrow c\approx 11{,}17\)

\(\cos A\approx\dfrac{121+124{,}808-64}{2\cdot 11\cdot 11{,}17}\approx 0{,}740\Rightarrow A\approx 42{,}3^\circ\)

Logo \(B\approx 67{,}7^\circ\). Todos < \(90^\circ\) ⇒ agudo. Alternativa A.

5) Para que \(7,9,c\) (com \(c\) maior) forme triângulo agudo, é necessário:

A) \(c<\sqrt{130}\) B) \(c=\sqrt{130}\) C) \(9<c<\sqrt{130}\) D) \(c>\sqrt{130}\) E) \(c\le 9\)

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Agudo ⇔ \(c^2<7^2+9^2=130\) e \(c>9\). Logo 9<c<\sqrt{130}\approx 11{,}40. Alternativa C.

6) Um triângulo tem ângulos \(x, y, z\) com \(x=2y\) e \(z=70^\circ\). Para ser agudo, \(y\) deve satisfazer:

A) \(y\ge 45^\circ\) B) \(y>55^\circ\) C) \(y<55^\circ\) D) \(y=55^\circ\) E) \(y=60^\circ\)

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\(2y+y+70=180\)
\(3y=110\)
\(y=\dfrac{110}{3}\approx 36{,}67^\circ\)

Os outros dois: \(73{,}33^\circ\) e \(70^\circ\) (todos agudos). Correta: C.

7) Em triângulo agudo, o ortocentro está:

A) Sobre a hipotenusa B) Dentro do triângulo C) Fora do triângulo D) No baricentro E) No incentro

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No agudo, ortocentro, circuncentro e incentro são internos. Alternativa B.

8) Se \(a=12\), \(b=13\) e o triângulo é agudo em \(C\), então \(\sin C\) é:

A) 0 B) 1 C) Entre 0 e 1 D) <0 E) ≥1

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Ângulo agudo tem seno entre 0 e 1 (exclusivo). Alternativa C.

9) Um triângulo tem \(a=8\), \(b=15\), \(c=17\). Classifique.

A) Agudo B) Retângulo C) Obtusângulo D) Isósceles E) Equilátero

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\(c^2=17^2=289\)
\(a^2+b^2=8^2+15^2=64+225=289\)

Igualdade de Pitágoras ⇒ retângulo. Alternativa B.

10) Num triângulo agudo com \(a=9\), \(b=12\) e \(C=60^\circ\), a área é:

A) 27 B) 36 C) 27√3 D) 54 E) 54√3

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\(A=\dfrac{ab\sin C}{2}\)
\(=\dfrac{9\cdot 12\cdot \sin 60^\circ}{2}\)
\(=\dfrac{108\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{2}\)
\(=\dfrac{108\sqrt3}{4}\)
\(=27\sqrt3\).

Alternativa C.