UNICAMP 2020 – Trigonometria em Triângulo Retângulo
A figura abaixo exibe o triângulo retângulo \( ABC \), em que \( AB = AM = MC \).
Então, \( \tan \theta \) é igual a:
a) \( \frac{1}{2} \)
b) \( \frac{1}{3} \)
c) \( \frac{1}{4} \)
d) \( \frac{1}{5} \)
- Definindo as medidas:
Seja \( AB = AM = MC = x \). - Analisando o triângulo \( ABM \): \[ \tan \alpha = \frac{x}{x} = 1 \quad \Rightarrow \quad \alpha = 45^\circ \]
- No triângulo \( ABC \): \[ \tan(\alpha + \theta) = \frac{x+x}{x} = 2 \] \[ \tan(45^\circ + \theta) = 2 \]
- Usando a fórmula da tangente da soma: \[ \frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta} = 2 \] \[ 1+\tan \theta = 2 – 2\tan \theta \] \[ 3\tan \theta = 1 \quad \Rightarrow \quad \tan \theta = \frac{1}{3} \]
Resposta correta: b) \( \frac{1}{3} \)
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