UNICAMP 2021 – Questão de Álgebra Linear
Considere um número real \( t \in [0, 2\pi) \) e defina a matriz:
\[
H =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & 1
\end{pmatrix}
– 2
\begin{pmatrix}
\cos^2(t) & \cos(t)\sin(t) \\
\cos(t)\sin(t) & \sin^2(t)
\end{pmatrix}
\]
a) Mostre que a matriz \( H \) é invertível. b) Determine valores de \( t \) tais que \[ H \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}. \]
a) Mostre que a matriz \( H \) é invertível. b) Determine valores de \( t \) tais que \[ H \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}. \]
- Letra a) – Invertibilidade da matriz H:
Subtraindo as matrizes: \[ H = \begin{pmatrix} 1-2\cos^2(t) & -2\cos(t)\sin(t) \\ -2\cos(t)\sin(t) & 1-2\sin^2(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\cos(2t) & -\sin(2t) \\ -\sin(2t) & \cos(2t) \end{pmatrix} \]
Determinante: \[ \det(H) = -\cos^2(2t) – \sin^2(2t) = -1 \neq 0 \] Logo, \( H \) é invertível. - Letra b) – Determinando t:
\[
H \cdot
\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}
\]
Sistema formado: \[ -3\cos(2t)-2\sin(2t) = 2 \] \[ -3\sin(2t)+2\cos(2t) = 3 \] Multiplicando e somando: \[ 13\sin(2t) = -13 \quad \Rightarrow \quad \sin(2t)=-1 \] \[ 2t = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \] \[ t = \frac{3\pi}{4} \quad \text{ou} \quad \frac{7\pi}{4} \quad \text{em } [0, 2\pi) \]
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