UNICAMP 2021 – Geometria Analítica e Áreas
Em 2019, diversas praias brasileiras foram atingidas por manchas de óleo. Pesquisadores concentraram esforços na tentativa de localizar o ponto provável de emissão do óleo.
Na figura abaixo, a origem do plano cartesiano está localizada no Distrito Federal e cada unidade equivale a 1.000 km.
a) Numa primeira investigação sobre a origem do óleo, um navio fez uma sondagem numa área poligonal de 63.000.000 km², com vértices A, B, C, D e E. Calcule o valor da ordenada h do ponto E = (19,h).
b) Após a investigação dos resíduos encontrados nas praias indicadas pelos pontos F e G, descobriu-se que a fonte provável do óleo encontrava-se no Oceano Atlântico, a 12.000 km do ponto F e a 18.000 km do ponto G. Determine as coordenadas \((x, y)\) da provável fonte do óleo.
a) Numa primeira investigação sobre a origem do óleo, um navio fez uma sondagem numa área poligonal de 63.000.000 km², com vértices A, B, C, D e E. Calcule o valor da ordenada h do ponto E = (19,h).
b) Após a investigação dos resíduos encontrados nas praias indicadas pelos pontos F e G, descobriu-se que a fonte provável do óleo encontrava-se no Oceano Atlântico, a 12.000 km do ponto F e a 18.000 km do ponto G. Determine as coordenadas \((x, y)\) da provável fonte do óleo.
- Item a) – Cálculo da ordenada h do ponto E:
A área de 63.000.000 km² equivale a 63 unidades no plano (escala 1:1.000 km). A área do pentágono \(ABCDE\) é a soma das áreas do triângulo \(ABE\) e do trapézio \(BCDE\): \[ S_{ABCDE} = S_{ABE} + S_{BCDE} \] \[ 63 = \frac{3 \cdot (h-5)}{2} + \frac{(h-5+6)\cdot 5}{2} \] \[ 63 \cdot 2 = 3h – 15 + 5h + 5 \] \[ 126 = 8h – 10 \Rightarrow 8h = 136 \Rightarrow h = 17 \] **Ordenada de E:** \( h = 17 \) - Item b) – Coordenadas da provável fonte do óleo:
Seja \( P(x,y) \) a fonte do óleo. Distâncias fornecidas: \[ d_{PF} = 12 \quad \text{e} \quad d_{PG} = 18 \] Equações das circunferências: \[ (x-8)^2 + (y-14)^2 = 12^2 \] \[ (x-8)^2 + (y+4)^2 = 18^2 \] Subtraindo as equações: \[ (y+4)^2 – (y-14)^2 = 324 – 144 \] \[ y^2 + 8y + 16 – (y^2 – 28y + 196) = 180 \] \[ 36y – 180 = 180 \Rightarrow y = 10 \] Substituindo \(y = 10\): \[ (x-8)^2 + (10-14)^2 = 12^2 \] \[ (x-8)^2 + 16 = 144 \Rightarrow (x-8)^2 = 128 \] \[ x = 8 + 8\sqrt{2} \quad (\text{considerando o lado do oceano}) \] **Coordenadas:** \( P(8+8\sqrt{2}, 10) \)
Respostas:
- a) \( h = 17 \)
- b) \( P(8+8\sqrt{2}, 10) \)
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