UNICAMP 2021 – Função Polinomial e Retas Tangentes
Seja \( f(x) = x^3 – 2x + 1 \) uma função polinomial real.
A reta tangente ao gráfico de \( y = f(x) \) no ponto \((a, f(a))\) é definida por
\[
y = mx + f(a) – ma
\]
com
\[
m = 3a^2 – 2
\]
a) Encontre os pontos do gráfico de \( y = f(x) \) cuja reta tangente é paralela à reta definida por \( x – y = 0 \).
b) Sabendo que \( a > 0 \) e que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de \( y = f(x) \) no ponto \((a, f(a))\) é 10, determine os pontos de interseção dessa reta tangente com o gráfico de \( y = f(x) \).
- Item a) – Retas tangentes paralelas a x-y=0:
- A reta \( x-y=0 \) tem coeficiente angular \( m = 1 \).
- O coeficiente angular da tangente é \( m = 3a^2-2 \). Igualando: \[ 3a^2 – 2 = 1 \Rightarrow 3a^2 = 3 \Rightarrow a^2 = 1 \] \[ a = 1 \quad \text{ou} \quad a = -1 \]
- Calculando os pontos: \[ f(1) = 1^3 – 2\cdot 1 + 1 = 0 \] \[ f(-1) = (-1)^3 – 2(-1)+1 = 2 \] **Pontos:** \( (1,0) \) e \( (-1,2) \)
- Item b) – Tangente com coeficiente angular 10:
- \[ 3a^2 – 2 = 10 \Rightarrow 3a^2 = 12 \Rightarrow a^2 = 4 \] \[ a = 2 \quad (\text{pois } a > 0) \]
- \[ f(2) = 2^3 – 2 \cdot 2 + 1 = 5 \] Ponto de tangência: \( (2,5) \)
- Equação da tangente: \[ y – 5 = 10(x-2) \Rightarrow y = 10x – 15 \]
- Interseção com \( f(x) \): \[ x^3 – 2x + 1 = 10x – 15 \] \[ x^3 – 12x + 16 = 0 \]
- Raiz \( x=2 \) já conhecida; dividindo o polinômio: \[ x^3 – 12x + 16 = (x-2)(x^2+2x-8) \] \[ x^2+2x-8=0 \Rightarrow x=-4 \text{ ou } x=2 \]
- Calculando as ordenadas: \[ f(-4) = (-4)^3-2(-4)+1=-64+8+1=-55 \] **Interseções:** \( (2,5) \), \( (-4,-55) \)
Respostas:
- a) \( (1,0) \) e \( (-1,2) \)
- b) \( (2,5) \) e \( (-4,-55) \)
📘 Questões MATEMÁTICA UNICAMP Resolvidas
Escolha o ano e acesse as questões com solução passo a passo:
