UNICAMP 2022 | Matemática | Polinômios e Divisibilidade
O polinômio \( p(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c \) é divisível por \( 2x^2 – x + 4 \). O valor de \( c + 2b \) é:a) 9
b) 15
c) 21
d) 25
Resolução Passo a Passo:
1) Efetuamos a divisão de \( p(x) \) por \( 2x^2 – x + 4 \):
\[ 2x^3 + ax^2 + bx + c \div (2x^2 – x + 4) \]O quociente inicial é \( x \), e o resto será da forma:
\[ (b-4 + \frac{a+1}{2})x + (c-2a-2) \]2) Para que \( p(x) \) seja divisível, o resto deve ser nulo:
\[ b – 4 + \frac{a+1}{2} = 0 \quad\text{e}\quad c – 2a – 2 = 0 \]3) Da primeira equação:
\[ 2b – 8 + a + 1 = 0 \implies 2b + a – 7 = 0 \]4) Da segunda equação:
\[ c = 2a + 2 \]5) Assim:
\[ c + 2b = (2a+2) + (7-a) = 9 \]Resposta: a) 9
