UNICAMP 2022 | Matemática | Sistemas Lineares e Matrizes
Considere a matriz \[ A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 3 & k^2 \end{pmatrix}, \] e seja \( B = A + A^T \), onde \( A^T \) é a transposta de \( A \). Sobre o sistema \[ B \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2021 \\ 2022 \end{pmatrix}, \] assinale a alternativa correta:
a) Se \( k = 0 \), o sistema não tem solução.
b) Se \( k = -1 \), o sistema tem infinitas soluções.
c) Se \( k = -1 \), o sistema não tem solução.
d) Se \( k = 3 \), o sistema tem infinitas soluções.
Resolução Passo a Passo:
1) Construindo \( B \):
\[ A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ k & k^2 \end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad B = A + A^T = \begin{pmatrix} 2 & k+3 \\ k+3 & 2k^2 \end{pmatrix} \]2) Determinante de \( B \):
\[ \det(B) = 2 \cdot 2k^2 – (k+3)^2 = 4k^2 – (k^2 + 6k + 9) = k^2 – 2k – 3 \] \[ \det(B) = (k-3)(k+1) \]O sistema será impossível se o determinante for zero e o sistema for inconsistente.
3) Testando \( k = -1 \):
\[ B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad \text{Sistema: } \begin{cases} 2x + 2y = 2021 \\ 2x + 2y = 2022 \end{cases} \] Como as equações são paralelas, **sistema impossível**.4) Conclusão:
O sistema **não tem solução** para \( k = -1 \).Resposta: c) Se \( k=-1 \), o sistema não tem solução.
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