UNICAMP 2022 | Matemática | Movimento Circular
Márcia está fazendo um teste de condicionamento físico e corre numa pista circular de 200 m de comprimento, com velocidade angular constante, e no sentido anti-horário. A distância, em metros, entre Márcia e um equipamento eletrônico localizado na parte externa da pista foi registrada nos primeiros 60 segundos e está representada na Figura 1 abaixo.
a) Determine quanto tempo Márcia demora para completar uma volta e quantos metros ela percorreu nos primeiros 60 segundos.
b) A Figura 2 representa um determinado instante em que a distância entre Márcia e o centro da pista (ponto C) é igual à distância entre ela e o equipamento eletrônico.
Calcule o cosseno do ângulo \( \alpha \) indicado na Figura 2.
Resolução:
a) Pelo gráfico, Márcia completa uma volta em 24 s.
Como a pista mede 200 m, em 60 s ela percorre:
\[
\Delta s = \frac{60}{24} \cdot 200 = 500\text{ m.}
\]
b) Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo formado por Márcia, o centro C e o equipamento: \[ R^2 = (R+10)^2 – 2 \cdot R \cdot (R+10) \cdot \cos\alpha \] \[ \cos\alpha = \frac{R+10}{2R} \] Como \( C = 2\pi R = 200 \), temos \( R = \frac{100}{\pi} \). Logo: \[ \cos\alpha = \frac{100/\pi + 10}{200/\pi} = \frac{10+\pi}{20}. \]
Resposta: a) 24 s e 500 m b) \( \cos\alpha = \frac{10+\pi}{20} \)
