UNICAMP 2022 | Matemática | Probabilidade e Sequências
Heloísa está brincando com uma urna que contém 10 bolinhas: 3 azuis, 3 verdes e 4 rosas. Ela decide construir uma sequência numérica \(x_0, x_1, x_2, \dots\) de acordo com as cores das bolinhas sorteadas da urna. O primeiro termo da sequência é \(x_0 = 1\).
A cada sorteio, um novo termo da sequência é obtido multiplicando-se o termo anterior:
- por 2, se a bolinha sorteada for azul;
- por 3, se a bolinha sorteada for verde;
- por 5, se a bolinha sorteada for rosa.
Após cada sorteio, a bolinha é devolvida para a urna. Por exemplo, se nos três primeiros sorteios Heloísa retira uma bolinha rosa, depois uma verde e depois uma azul, a sequência será:
\(x_0 = 1\)
\(x_1 = 5 \cdot x_0 = 5\)
\(x_2 = 3 \cdot x_1 = 15\)
\(x_3 = 2 \cdot x_2 = 30\)
Com base nessas informações, responda:
a) É possível que Heloísa obtenha uma sequência contendo o termo \(189\)? Justifique.
b) Qual é a probabilidade de Heloísa obter o número \(360\) como termo de uma sequência?
Resolução:
a) Fatorando \(189\):
\[
189 = 3^3 \cdot 7
\]
Como só há multiplicações por \(2, 3, 5\), nenhum termo conterá o fator \(7\).
Logo, não é possível obter 189.
b) Fatorando \(360\):
\[
360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5
\]
Para gerar \(360\), Heloísa precisa sortear 3 azuis (A), 2 verdes (V) e 1 rosa (R), em qualquer ordem.
O número de arranjos distintos é:
\[
\frac{6!}{3!\cdot 2!\cdot 1!} = 60
\]
A probabilidade de uma sequência específica (ex: A A A V V R) é:
\[
\left(\frac{3}{10}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{10}\right)^2 \cdot \left(\frac{4}{10}\right)^1
= \frac{3^5 \cdot 4}{10^6} = \frac{972}{1\,000\,000}
\]
Multiplicando pelo número de arranjos:
\[
60 \cdot \frac{972}{1\,000\,000} \approx 0{,}05832 = 5{,}832\%
\]
