Uma transformação de Möbius é um quociente de polinômios de grau 1. Essas transformações são importantes em computação gráfica e também na área da engenharia conhecida como processamento de sinais.
Considere a função: \[ f(x) = \frac{x + 1}{x – 1}, \] definida para \(x \in \mathbb{R}, x \neq 1\), que é uma versão simplificada de uma transformação de Möbius.
Sobre a função inversa de \(f(x)\), é correto afirmar que:
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a) \( f^{-1}(x) = f(x), \quad x \neq 1\)
b) \( f^{-1}(x) = \frac{1}{f(x)}, \quad x \neq \pm 1 \)
c) \( f^{-1}(x) = -f(x), \quad x \neq 1 \)
d) \( f^{-1}(x) = f(-x), \quad x \neq 1 \)
1) Seja \(y = f(x)\):
\[ y = \frac{x+1}{x-1} \]
2) Isolando \(x\) para encontrar \(f^{-1}(x)\):
Multiplicando cruzado: \[ y(x-1) = x + 1 \] \[ xy – y = x + 1 \] \[ xy – x = y + 1 \] \[ x(y-1) = y + 1 \] \[ x = \frac{y + 1}{y – 1} \]
3) Substituindo \(y \to x\) para a inversa:
\[ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{x-1} = f(x) \]
Resposta Final: Alternativa A.
