Para qual valor de \(a\) o sistema de equações lineares \[ \begin{cases} ax – y = |a| \\[2mm] (4 – 5a^2)x + ay = 1 \end{cases} \] admite infinitas soluções?
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a) 1
b) 2
c) -1
d) -2
1) Sistema de equações:
\[ \begin{cases} ax – y = |a| \\ (4 – 5a^2)x + ay = 1 \end{cases} \]
2) Condição para infinitas soluções:
Para que o sistema tenha infinitas soluções, os determinantes das linhas devem ser proporcionais.
Calculando os determinantes (ou usando o critério de proporção): \[ \frac{a}{4 – 5a^2} = \frac{-1}{a} = \frac{|a|}{1} \]
3) Resolvendo a proporção:
A primeira proporção dá: \[ a \cdot a = – (4 – 5a^2) \quad \Rightarrow \quad a^2 = -4 + 5a^2 \] \[ 4a^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \pm 1 \]
Pela terceira proporção com o termo independente, verifica-se que \[ a = 1 \] satisfaz a condição.
Resposta Final: Alternativa A.
