UNICAMP 2023 | Matemática | 2ª Fase | Conteúdo da Questão
Considere a função real \( f(x) = \cos(2x) – 2 sen(x) \), definida para \( x \in [0, 2\pi] \).
a) Calcule \( f\left( \frac{\pi}{4} \right) \).
b) Encontre todos os valores de \( x \in [0, 2\pi] \) tais que \( f(x) = -\frac{1}{2} \).
a) Cálculo de \( f\left( \frac{\pi}{4} \right) \):
\[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) – 2sen\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) – 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 – \sqrt{2} = -\sqrt{2} \]b) Resolvendo \( f(x) = -\frac{1}{2} \):
\[ \cos(2x) – 2sen(x) = -\frac{1}{2} \]Substituímos \(\cos(2x) = 1 – 2sen^2(x)\):\[ 1 – 2sen^2(x) – 2sen(x) = -\frac{1}{2} \]\[ -2sen^2(x) – 2sen(x) + \frac{3}{2} = 0 \]Multiplicando por \(-2\):\[ 4sen^2(x) + 4sen(x) – 3 = 0 \]Resolvendo a equação quadrática:\[ sen(x) = \frac{-4 \pm 8}{8} \Rightarrow sen(x) = \frac{1}{2} \text{ ou } -\frac{3}{2} \]O valor \(-\frac{3}{2}\) não pertence ao intervalo de seno. Assim:\[ x = \frac{\pi}{6} \quad \text{ou} \quad x = \frac{5\pi}{6} \]Resposta final:
- a) \(-\sqrt{2}\)
- b) \( x = \frac{\pi}{6} \) ou \( x = \frac{5\pi}{6} \)
