Seja \( Q \) um quadrado de lado 21 cm.
a) Considere que \( Q \) foi subdividido em 9 quadrados de lado 7 cm cada. Quantos triângulos distintos podem ser formados de modo que seus vértices sejam os centros desses quadrados? (Considere triângulos distintos quando seus vértices não coincidirem.)
b) É possível escolher 10 pontos em \( Q \) de modo que a distância entre quaisquer dois pontos seja maior que 10 cm? Justifique.
a) Número de triângulos distintos:
Existem 9 pontos (centros dos quadrados). O número de triângulos possíveis é dado por: \[ C_{9,3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84 \]
Como existem 3 colineares em cada linha e 3 em cada coluna, devemos subtrair os alinhados: \[ 84 – 3 – 3 – 2 = 76 \]
**Resposta:** 76 triângulos distintos.
b) Escolha de 10 pontos com distância mínima > 10 cm:
Cada quadrado tem lado 7 cm. A diagonal de um quadrado de 7 cm é: \[ d = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{98} < 10 \]
Se escolhermos 10 pontos em 9 regiões, pelo menos dois estarão no mesmo quadrado (Princípio da Casa dos Pombos), logo, a distância será < 10 cm.
**Resposta:** Não é possível escolher 10 pontos atendendo à condição.
Resposta Final: a) 76 triângulos b) Verificação mostra que não é possível
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