Guia Prático
Variação Percentual
Como medir aumentos e descontos, compor taxas sucessivas, reverter quedas e evitar confusões (pontos percentuais × variação percentual).
✔️ Contas conferidas
A variação percentual compara quanto um valor mudou em relação ao valor antigo. Para revisar os fundamentos, veja: Porcentagem, Porcentagem simples, Expressões Numéricas, Frações, Operações Numéricas e Conjuntos Numéricos.
O que é variação percentual?
Definição
\[
\Delta\% \;=\; \frac{\text{Novo}-\text{Antigo}}{\text{Antigo}}\cdot 100\%.
\]
Sinal positivo indica aumento; negativo indica queda.
Fórmulas-chave
Fator multiplicativo
\[
\text{Novo}=\text{Antigo}\cdot(1+t),\qquad t=\frac{\Delta\%}{100}.
\]
Ex.: aumento de 12% → fator 1,12; desconto de 30% → fator 0,70.
Taxas sucessivas (composição)
Fator total: \((1+t_1)(1+t_2)\cdots(1+t_n)\)
Variação total: \(\Delta\%_{\text{total}}=(\text{Fator total}-1)\cdot100\%\)
Reverter uma variação
\[
\text{Queda } d \Rightarrow \text{Aumento necessário } r=\frac{1}{1-d}-1.
\]
Ex.: cai 20% → precisa subir \(\frac{1}{0{,}8}-1=25\%\) para voltar ao original.
Pontos percentuais × variação percentual
\[
\text{Pontos percentuais (p.p.)} = \text{Novo\%} – \text{Antigo\%}.
\]
Sair de 12% para 15% = +3 p.p. e +25% de variação relativa.
Propriedades úteis (com exemplos)
Taxas sucessivas não se somam
-
+15% e depois −10%.
Ver solução
Fator \(=1{,}15\cdot0{,}90=1{,}035\Rightarrow \Delta\%=+3{,}5\%\) (não +5%). -
+10%, +10%, +10%.
Ver solução
Fator \(=1{,}1^3=1{,}331\Rightarrow \Delta\%=+33{,}1\%\).
Média de crescimento (geométrica)
-
+20% num ano e +10% no seguinte.
Ver solução
Fator total \(=1{,}2\cdot1{,}1=1{,}32\Rightarrow \Delta\%=+32\%\).
Taxa média anual \(=(1{,}32)^{1/2}-1\approx 14{,}89\%\). -
−30% num ano e +30% no outro.
Ver solução
Fator \(=0{,}7\cdot1{,}3=0{,}91\Rightarrow \Delta\%=-9\%\) (não 0%).
Exemplos passo a passo
- De 240 para 300: qual a variação?
Ver solução
\( \Delta\%=\dfrac{300-240}{240}\cdot100\%=25\%. \) - De 520 para 494: qual a variação?
Ver solução
\( \Delta\%=\dfrac{494-520}{520}\cdot100\%=-5\%. \) - Após cair 20%, qual aumento devolve ao original?
Ver solução
\( r=\dfrac1{1-0{,}20}-1=25\%. \) - A taxa passa de 12% para 15%: qual a leitura correta?
Ver solução
+3 p.p.; variação relativa \(=\dfrac{15-12}{12}\cdot100\%=25\%\).
🧠 Exercícios propostos
Resolva e depois confira no gabarito (clique para abrir).
- De 80 para 92: qual a variação percentual?
- De 600 para 444: qual a variação percentual?
- De 75 para 90: qual a variação percentual?
- De 1 200 para 1 242: qual a variação percentual?
- Preço caiu de 250 para 225: qual a variação?
- Aplicar +25% e depois −20% sobre um valor. Qual é a variação total?
- Aplicar +10% três vezes seguidas. Qual a variação total?
- Após cair 30%, qual aumento é necessário para voltar ao original?
- A taxa de juros vai de 8% para 11%. Quantos p.p. e qual a variação relativa?
- A taxa de conclusão cai de 35% para 21%. Quantos p.p. e qual a variação relativa?
- O valor final é 780 após um aumento de 30%. Qual era o valor inicial?
- O valor inicial é 480 e ocorre queda de 15%. Qual é o valor final?
📘 Gabarito
Ver gabarito
- \( \dfrac{92-80}{80}\cdot100\%=15\% \)
- \( \dfrac{444-600}{600}\cdot100\%=-26\% \)
- \( \dfrac{90-75}{75}\cdot100\%=20\% \)
- \( \dfrac{1\,242-1\,200}{1\,200}\cdot100\%=3{,}5\% \)
- \( \dfrac{225-250}{250}\cdot100\%=-10\% \)
- Fator \(=1{,}25\cdot0{,}80=1{,}00\Rightarrow \Delta\%=0\% \)
- Fator \(=1{,}1^3=1{,}331\Rightarrow \Delta\%=+33{,}1\%\)
- \( r=\dfrac{1}{1-0{,}30}-1=\dfrac{1}{0{,}7}-1\approx 42{,}857\% \)
- +3 p.p.; \( \dfrac{11-8}{8}\cdot100\%=37{,}5\% \)
- −14 p.p.; \( \dfrac{21-35}{35}\cdot100\%=-40\% \)
- Inicial \(=\dfrac{780}{1{,}30}=600\)
- Final \(=480\cdot(1-0{,}15)=408\)
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📝 Quiz — Variação Percentual
Marque a alternativa correta e clique em Conferir. Depois use Corrigir tudo para ver o desempenho.
- De 200 para 240: qual a variação percentual?\( \Delta\%=\dfrac{240-200}{200}\cdot100\%=20\%.\)
- De 500 para 425: qual a variação percentual?\( \Delta\%=\dfrac{425-500}{500}\cdot100\%=-15\%.\)
- Aplicar +10% e depois +5%: qual a variação total?Fator \(=1{,}10\cdot1{,}05=1{,}155\Rightarrow \Delta\%=15{,}5\%.\)
- +30% seguido de −30%: qual a variação total?Fator \(=1{,}3\cdot0{,}7=0{,}91\Rightarrow \Delta\%=-9\%.\)
- Após queda de 25%, qual aumento devolve ao original?\( r=\dfrac{1}{1-0{,}25}-1=\dfrac{1}{0{,}75}-1=33{,}33\%\).
- A taxa vai de 8% para 10%. Qual leitura correta?Pontos percentuais: \(10-8=2\) p.p.; variação relativa: \(\dfrac{10-8}{8}\cdot100\%=25\%\).
- Três aumentos de 10% e o preço final é R$ 1.331,00. Qual era o preço inicial?Fator \(=1{,}1^3=1{,}331\Rightarrow\) inicial \(=1331/1{,}331=\text{R\$}\,1\,000{,}00\).
- De 180 para 207: qual a variação?\( \Delta\%=\dfrac{207-180}{180}\cdot100\%=15\%.\)
- De 300 para 210: qual a variação?\( \Delta\%=\dfrac{210-300}{300}\cdot100\%=-30\%.\)
- Aplicou-se +12% e depois um desconto \(x\%\). O valor final voltou ao original. Quanto vale \(x\)?\((1+0{,}12)(1-x)=1\Rightarrow 1-x=\dfrac1{1{,}12}\Rightarrow x\approx 10{,}71\%.\)
