Vértice da Parábola — Fórmulas, Coordenadas e Significado

O vértice da parábola resume o comportamento da função do segundo grau: indica máximo (se $a<0$) ou mínimo (se $a>0$).

Vértice da parábola: valor máximo e mínimo, fórmulas e interpretação.

📐 Fórmulas essenciais

Para $ f(x)=ax^2+bx+c $ (com $a\neq0$):

$$ V(x_v,y_v)=\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right), \quad \Delta=b^2-4ac. $$

Além disso, se as raízes $x_1$ e $x_2$ existem, então $x_v$ é o ponto médio: $$ x_v=\frac{x_1+x_2}{2}. $$

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Exemplo rápido

Para $f(x)=x^2-4x+3$:

$x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\cdot1}= \dfrac{4}{2}=2$
$y_v=f(2)=(2)^2-4\cdot2+3=4-8+3=-1$
$\Rightarrow V(2,-1)$ (mínimo, pois $a>0$).

📝 Exercícios — Vértice da Parábola

Inclui questões abertas e múltipla escolha com soluções em “abre/fecha”.

1) (Múltipla escolha) Para $f(x)=ax^2+bx+c$, o vértice representa um valor máximo quando:

A) $a>0$ B) $a=0$ C) $a<0$ D) $b<0$

👀 Ver solução

Máximo ocorre quando a parábola é côncava para baixo ⇒ $a<0$. Alternativa C.

2) (Múltipla escolha) Em $f(x)=2x^2-6x+1$, o $x_v$ é:

A) $-\dfrac{6}{4}$ B) $\dfrac{6}{4}$ C) $\dfrac{-6}{2}$ D) $\dfrac{6}{2}$

👀 Ver solução

$x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2\cdot2}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$. Alternativa B.

3) Calcule o vértice de $g(x)=-x^2+4x+5$.

👀 Ver solução passo a passo

Identificando: $a=-1$, $b=4$, $c=5$.

$x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2\cdot(-1)}=-\dfrac{4}{-2}=2$

$y_v=g(2)=- (2)^2 + 4\cdot2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$

V(2, 9) (máximo, pois $a<0$).

4) (Múltipla escolha) Em $h(x)=x^2+bx+9$, sabe-se que $x_v= -3$. Qual é o valor de $b$?

A) $-6$ B) $6$ C) $3$ D) $-3$

👀 Ver solução

$x_v=-\dfrac{b}{2a}\Rightarrow -3=-\dfrac{b}{2\cdot1}\Rightarrow -3=-\dfrac{b}{2}$

$\Rightarrow b=6$. Alternativa B.

5) Mostre que, se $x_1$ e $x_2$ são raízes de $f(x)=ax^2+bx+c$, então $x_v=\dfrac{x_1+x_2}{2}$.

👀 Ver solução passo a passo

Pelas relações de Viète: $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$.

$\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{-b/a}{2}=-\dfrac{b}{2a}=x_v$.

6) (Múltipla escolha) Para $p(x)=3x^2+12x-7$, o $y_v$ é:

A) $-\dfrac{\Delta}{4a}$ B) $\dfrac{\Delta}{4a}$ C) $-\dfrac{b}{2a}$ D) $p(0)$

👀 Ver solução

Por definição: $y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}$. Alternativa A.

Se quiser calcular: $\Delta=b^2-4ac=144-4\cdot3\cdot(-7)=144+84=228$. Então $y_v=-\dfrac{228}{4\cdot3}=-\dfrac{228}{12}=-19$.

7) Para $q(x)=2x^2-8x+k$, determine $k$ sabendo que o vértice está em $y_v=-2$.

👀 Ver solução passo a passo

$x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-8}{2\cdot2}=\dfrac{8}{4}=2$

$y_v=q(2)=2(2)^2-8(2)+k=2\cdot4-16+k=8-16+k=-8+k$

Como $y_v=-2$: $-8+k=-2 \Rightarrow k=6$.

8) (Múltipla escolha) Em $r(x)=-2x^2+bx+1$, o vértice está à direita do eixo y. Então:

A) $b<0$ B) $b=0$ C) $b>0$ D) impossível saber

👀 Ver solução

Se $x_v>0$, então $-\dfrac{b}{2a}>0$. Como $a=-2<0$, o denominador é negativo; para a fração ser positiva, $b>0$.

Alternativa C.

Gabarito (múltipla escolha): 1) C 2) B 4) B 6) A 8) C

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

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