Volume e Área da Esfera

A esfera é um dos principais corpos redondos. Todos os pontos da sua superfície estão à mesma distância do centro; essa distância é o raio \(r\). Para revisar definição e propriedades, veja o artigo Esfera. Para treinar, acesse Exercício Esfera. Compare com sólidos de faces planas: Cubo e Paralelepípedo.

Fórmulas principais

Área da superfície

\( \displaystyle A=4\pi r^{2} \)

Unidades quadradas (cm², m²…)
Com diâmetro \(d=2r\): \(A=\pi d^{2}\)
Isolando \(r\): \( \displaystyle r=\sqrt{\dfrac{A}{4\pi}} \)

Volume

\( \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3} \)

Unidades cúbicas (cm³, m³…)
Com diâmetro \(d\): \( \displaystyle V=\frac{\pi}{6}d^{3} \)
Isolando \(r\): \( \displaystyle r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}} \)

Intuição rápida

De \(V\) para \(A\): \( \displaystyle \frac{d}{dr}\!\left(\frac{4}{3}\pi r^{3}\right)=4\pi r^{2}=A \). Ou seja, a variação do volume por unidade de raio é a própria área.
Cavalieri: Comparando cortes da esfera com os de um cilindro de raio \(r\) e altura \(2r\) “vazado” por um cone, conclui-se \(V_{\text{esfera}}=\tfrac{2}{3}V_{\text{cilindro}}=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}\).
Escala: Se \(r\) é multiplicado por \(k\), então \(A\) multiplica por \(k^{2}\) e \(V\) por \(k^{3}\).

Unidades e conversões

Área em unidades quadradas; volume em unidades cúbicas. Em aplicações práticas: \(1\ \text{m}^{3}=1000\ \text{L}\).

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. Para \(r=6\ \text{cm}\), calcule a área e o volume.

Área

\(A=4\pi r^{2}\)

\(A=4\pi\cdot 6^{2}\)

\(A=4\pi\cdot 36=144\pi\ \text{cm}^{2}\)

\(A\approx 452{,}39\ \text{cm}^{2}\)

Volume

\(V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 6^{3}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 216\)

\(V=288\pi\ \text{cm}^{3}\approx 904{,}32\ \text{cm}^{3}\)

Exemplo 2. Uma esfera tem \(V=288\pi\ \text{cm}^{3}\). Encontre \(r\) e a área.

\(\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=288\pi \Rightarrow r^{3}=216\)

\(r=\sqrt[3]{216}=6\ \text{cm}\)

\(A=4\pi r^{2}=4\pi\cdot 36=144\pi\ \text{cm}^{2}\)

Exemplo 3. Esfera inscrita em um cubo de aresta \(10\ \text{cm}\): calcule \(A\) e \(V\).

Inscrita ⇒ \(r=\dfrac{10}{2}=5\ \text{cm}\)

\(A=4\pi\cdot 5^{2}=100\pi\ \text{cm}^{2}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 5^{3}=\dfrac{500}{3}\pi\ \text{cm}^{3}\)

Exercícios (múltipla escolha)

1) Direto. Uma esfera tem raio \(4\ \text{cm}\). O par correto (área, volume) é:

\((64\pi\ \text{cm}^{2},\ 64\pi\ \text{cm}^{3})\)
\((64\pi\ \text{cm}^{2},\ \tfrac{256}{3}\pi\ \text{cm}^{3})\)
\((32\pi\ \text{cm}^{2},\ \tfrac{256}{3}\pi\ \text{cm}^{3})\)
\((32\pi\ \text{cm}^{2},\ 64\pi\ \text{cm}^{3})\)

Ver solução

\(A=4\pi\cdot 4^{2}=64\pi\ \text{cm}^{2}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 4^{3}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 64=\tfrac{256}{3}\pi\ \text{cm}^{3}\)

Resposta: B.

2) Com diâmetro. Se \(d=24\ \text{cm}\), então \(A\) e \(V\) valem, respectivamente:

\(576\pi\ \text{cm}^{2}\) e \(2304\pi\ \text{cm}^{3}\)
\(576\pi\ \text{cm}^{2}\) e \(\tfrac{\pi}{6}\cdot 24^{3}\)
\( \pi d^{2}\) e \(\tfrac{\pi}{6}d^{3}\)
Todas as anteriores estão corretas.

Ver solução

\(A=\pi d^{2}=\pi\cdot 24^{2}=576\pi\ \text{cm}^{2}\)

\(V=\tfrac{\pi}{6}d^{3}=\tfrac{\pi}{6}\cdot 13\,824=2304\pi\ \text{cm}^{3}\)

Resposta: D.

3) A partir do volume. Dada uma esfera com \(V=36\pi\ \text{cm}^{3}\), qual é a área?

\(36\pi\ \text{cm}^{2}\)
\(48\pi\ \text{cm}^{2}\)
\(64\pi\ \text{cm}^{2}\)
\(96\pi\ \text{cm}^{2}\)

Ver solução

\(\frac{4}{3}\pi r^{3}=36\pi \Rightarrow r^{3}=27\Rightarrow r=3\ \text{cm}\)

\(A=4\pi r^{2}=4\pi\cdot 9= \boxed{36\pi\ \text{cm}^{2}}\)

Resposta: A.

4) Tanque esférico. Um reservatório esférico de raio \(1{,}2\ \text{m}\) será pintado externamente. Quanto se pinta (área) e qual sua capacidade (volume), aproximadamente?

\(18{,}10\ \text{m}^{2}\) e \(7{,}24\ \text{m}^{3}\)
\(9{,}05\ \text{m}^{2}\) e \(7{,}24\ \text{m}^{3}\)
\(18{,}10\ \text{m}^{2}\) e \(3{,}62\ \text{m}^{3}\)
\(9{,}05\ \text{m}^{2}\) e \(3{,}62\ \text{m}^{3}\)

Ver solução

\(A=4\pi r^{2}=4\pi\cdot 1{,}44=5{,}76\pi\approx 18{,}10\ \text{m}^{2}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 1{,}728=2{,}304\pi\approx 7{,}24\ \text{m}^{3}\)

Resposta: A.

5) Escala. Uma esfera B tem raio \(1{,}5\) vez o raio de uma esfera A. As razões \( \dfrac{A_B}{A_A} \) e \( \dfrac{V_B}{V_A} \) são, respectivamente: