Em matemática, as funções podem ser classificadas como pares ou ímpares dependendo de como elas se comportam em relação à simetria no plano cartesiano.

📌 Função Par

Uma função f(x) é chamada de par se satisfaz a seguinte condição para todo x no domínio da função: f(-x) = f(x)

Essa propriedade indica que a função é simétrica em relação ao eixo y. Ou seja, se um ponto (x, y) pertence ao gráfico da função, então o ponto (-x, y) também pertence.

🔹 Exemplos de funções pares:

1. f(x) = x², pois (−x)² = x².
2. f(x)=cos⁡x, pois cos⁡(−x) = cos⁡x.
3. f(x) = x⁴ + 2x² + 1, pois todos os expoentes de x são pares.

📌 Gráfico de uma função par: O gráfico é sempre simétrico em relação ao eixo y.

Exemplo

A função representada no gráfico abaixo e par é aquela que tem simetria em relação ao eixo y. Ou seja, para qualquer valor de x no domínio da função, a função de −x é igual à função de x, ou seja,

f(-x) = f(x).

No gráfico apresentado , temos uma função quadrática f(x) = x² − 4. Como podemos ver, a função é simétrica em relação ao eixo y, o que caracteriza uma função par.

Exemplo

Vamos testar a função par dada: f(x) = x² − 4

Lembre-se que, para ser par, a função deve satisfazer f(−x) = f(x)

Para x = 2 e x = -2

• f(2) = 2² − 4 = 4 − 4 = 0
• f(−2) = (−2)² − 4 = 4 − 4 = 0

✅ Como f(2) = f(−2), a função é par para esse valor.

Para x = 3 e x = -3

• f(3) = 3² − 4 = 9 − 4 = 5
• f(−3) = (−3)² − 4 = 9 − 4 = 5

✅ Como f(3) = f(−3), a função mantém a simetria.

Para x=4 e x = -4

• f(4) = 4² − 4 = 16 − 4 = 12
• f(−4)=(−4)² − 4 = 16 − 4 = 12

✅ Como f(4)=f(−4)f(4) = f(-4)f(4)=f(−4), a função continua sendo par.

📌 Função Ímpar

Uma função f(x) é chamada de ímpar se satisfaz a seguinte condição para todo x no domínio da função:

f(−x) = −f(x)

Isso significa que o gráfico da função possui simetria em relação à origem. Ou seja, se o ponto (x, y) pertence ao gráfico da função, então o ponto (-x, -y) também pertence.

🔹 Exemplos de funções ímpares:

1. f(x) = x³, pois (−x)³ = −x³
2. f(x)=senx, pois sen(−x) = −senx
3. f(x) = x⁵ − x, pois todos os expoentes de x são ímpares.

📌 Gráfico de uma função ímpar: O gráfico é simétrico em relação à origem.

Já a função representada no gráfico abaixo é ímpar e tem simetria em relação à origem. Isso significa que para todo x, a função de −x é o oposto da função de x, ou seja, f(-x) = -f(x).

No gráfico , temos a função cúbica g(x) = x³. Essa função é simétrica em relação à origem, pois, ao inverter o sinal de x, o sinal de g(x) também inverte. Isso caracteriza a função como ímpar.

gora vamos testar a função ímpar dada no gráfico: g(x) = x³

Uma função é ímpar se satisfaz a condição:

g(−x) = −g(x)

Ou seja, trocar x por −x deve resultar no oposto de g(x).

Para x = 2 e x = -2

• g(2) = 2³ = 8
• g(−2) = (−2)³ = −8

✅ Como g(-2) = -g(2), a função mantém a simetria ímpar.

Para x = 3 e x = -3

• g(3) = 3³ = 27
• g(−3) = (−3)³ = −27

✅ Como g(-3) = -g(3), a função continua sendo ímpar.

Para x = 4 e x = -4

• g(4) = 4³ = 64
• g(−4) = (−4)³ = −64

✅ Como g(-4) = -g(4), a função confirma sua propriedade ímpar.

Lista de Exercício Função Par e Ímpar

Exercício 1

Considere a função f(x) = x⁴ − 2x² + 1. Verifique se ela é uma função par.

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Resolução

Para ser par, a função deve satisfazer: f(−x) = f(x)

Calculamos f(−x):

f(−x) = (−x)⁴ − 2(−x)² + 1 = x⁴ − 2x² + 1

Como f(−x) = f(x), a função é par.

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Exercício 2:

Verifique se a função g(x) = x⁵ − x é ímpar.

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Resolução

Para ser ímpar, a função deve satisfazer: g(−x) = −g(x)

Calculamos g(−x):

g(−x) = (−x)⁵−(−x) = −x⁵ + x

Agora, calculamos −g(x):

−g(x) = −(x⁵ − x) = −x⁵ + x

Como g(−x) = −g(x), a função é ímpar.

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Exercício 3:

A função h(x) = x³ + x² é par, ímpar ou nenhuma das duas?

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Resolução

Verificamos se a função é par:

h(−x) = (−x)³ + (−x)² = −x³ + x²

Como h(−x) ≠ h(x), a função não é par.

Agora, verificamos se a função é ímpar:

−h(x) = −(x³ + x²) = −x³ − x²

Como h(−x) ≠ −h(x), a função não é ímpar.

Resposta: A função não é nem par nem ímpar.

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