Concurso: OBMEP | Ano: 2025 | Assunto: Sistemas de Equações Não Lineares
Enunciado:
Considere o sistema: \[ \begin{cases} x^2 + y = 1 \\ y^2 + x = 1 \end{cases} \] Qual é a soma de todos os valores \( x \) tais que \( (x, y) \) é solução desse sistema?
Alternativas:
- (A) 1
- (B) -1
- (C) 0
- (D) \( \sqrt{5} \)
- (E) \( -\sqrt{5} \)
Ver Solução
1. Sistema dado:
\[ \begin{cases} x^2 + y = 1 \quad \text{(1)} \\ y^2 + x = 1 \quad \text{(2)} \end{cases} \]2. Subtraindo (1) – (2):
\[ (x^2 + y) – (y^2 + x) = 0 \Rightarrow x^2 – y^2 + y – x = 0 \]3. Agrupando:
\[ (x^2 – y^2) + (y – x) = 0 \Rightarrow (x – y)(x + y) + (y – x) = 0 \]Note que \( y – x = -(x – y) \), então:
\[ (x – y)(x + y) – (x – y) = (x – y)(x + y – 1) = 0 \]4. Soluções possíveis:
5. Caso 1: \( x = y \)
Substituindo na equação (1): \[ x^2 + x = 1 \Rightarrow x^2 + x – 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \]6. Caso 2: \( x + y = 1 \Rightarrow y = 1 – x \)
Substituindo na equação (1): \[ x^2 + (1 – x) = 1 \Rightarrow x^2 – x + 1 = 1 \Rightarrow x^2 – x = 0 \Rightarrow x(x – 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ ou } x = 1 \]7. Conjunto final de valores de \( x \):
\[ \left\{ \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 – \sqrt{5}}{2}, 0, 1 \right\} \]8. Soma total:
\[ \left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\right) + \left(\frac{-1 – \sqrt{5}}{2}\right) + 0 + 1 = \left(\frac{-2}{2}\right) + 1 = -1 + 1 = \boxed{0} \]Gabarito: (C) 0
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