Concurso: OBMEP | Ano: 2025 | Assunto: Probabilidade / Análise de Casos
Enunciado:
Pasqual tem um dado numerado de 1 a 6. Qual é a probabilidade de que o produto dos números obtidos em três lançamentos desse dado seja exatamente 60?
Alternativas:
- (A) \( \frac{1}{18} \)
- (B) \( \frac{1}{36} \)
- (C) \( \frac{1}{60} \)
- (D) \( \frac{1}{24} \)
- (E) \( \frac{1}{48} \)
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1. Total de possibilidades:
Como o dado tem 6 faces e são feitos 3 lançamentos:
\[ \text{Total} = 6^3 = 216 \]2. Queremos o número de trios \((a, b, c)\) com:
\[ a \cdot b \cdot c = 60 \quad \text{com } a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \]Fatoração de 60:
\[ 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \]3. Enumerando trios distintos:
Vamos buscar todas as combinações de três números de 1 a 6 cujo produto seja 60:- (1, 5, 12) → 12 não está no dado ❌
- (2, 5, 6): \(2 \cdot 5 \cdot 6 = 60\) ✅
- (3, 4, 5): \(3 \cdot 4 \cdot 5 = 60\) ✅
Agora, vamos contar quantas permutações há para cada trio distinto:
- (2, 5, 6): 3 elementos distintos → \(3! = 6\)
- (3, 4, 5): 3 elementos distintos → \(3! = 6\)
Total de casos favoráveis: \(6 + 6 = 12\)
4. Probabilidade:
\[ \frac{12}{216} = \frac{1}{18} \]Gabarito: (A) \( \frac{1}{18} \)
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