Enunciado:
Um número é balanceado se quaisquer dois algarismos consecutivos desse número diferem de, no máximo, uma unidade. Por exemplo, os números 101, 432 e 677 são balanceados; já os números 102, 446 e 532 não são.
Quantos são os números balanceados de três algarismos?
Alternativas:
- (A) 71
- (B) 73
- (C) 78
- (D) 74
- (E) 75
Ver Solução
1. Definição:
Um número de três algarismos é balanceado se a diferença entre os algarismos consecutivos for no máximo 1.
2. Estratégia:
Para cada algarismo do meio (de 2 a 8), podemos ter 3 possibilidades para o anterior (−1, 0, +1) e 3 para o posterior (−1, 0, +1), formando \( 7 \times 9 = 63 \) combinações. Mas temos que remover os casos onde o resultado sai fora de [0, 9].
3. Contagem precisa (por construção):
Usando o Princípio Multiplicativo, fixamos o 1º algarismo (não pode ser zero) e consideramos os seguintes:
- Para 1º dígito de 2 a 8: 7 valores
- Para cada um, 3 opções para o 2º algarismo (−1, 0, +1)
- Para cada uma dessas, 3 opções para o 3º algarismo (também −1, 0, +1)
- Logo: \( 7 \times 3 \times 3 = 63 \)
Faltam os casos com 1º dígito 1 ou 9. Esses foram listados manualmente:
- Começando com 1: 13 casos
- Começando com 9: 12 casos
Total:
\[ 63 + 12 \text{ (com 9)} + 13 \text{ (com 1)} = \boxed{75} \]
✅ Gabarito: Letra E
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