Questão 8. (UEG-GO) O lucro de uma empresa é dado pela relação \( R = L + C \), em que \( L \) é o lucro, \( R \) é a receita e \( C \) é o custo de produção.
Numa empresa que produziu \( x \) unidades de um produto, verificou-se que:
- \( C(x) = 2x^2 + 2500x + 3000 \)
- \( R(x) = x^2 + 7500x + 3000 \)
a) Esboce o gráfico da função \( L(x) \).
b) Quantas unidades essa empresa deve produzir para obter o maior lucro possível?
🔍 Ver solução passo a passo
🔎 Entendendo o enunciado:
Sabemos que \( L(x) = R(x) – C(x) \), ou seja, lucro é a receita menos o custo. Devemos encontrar o valor de \( x \) que maximiza essa função \( L(x) \).
1) Subtrair as funções:
$$ L(x) = R(x) – C(x) $$
$$ L(x) = (x^2 + 7500x + 3000) – (2x^2 + 2500x + 3000) $$
$$ L(x) = x^2 – 2x^2 + 7500x – 2500x + 3000 – 3000 $$
$$ L(x) = -x^2 + 5000x $$
2) Encontrar o valor de \( x \) que maximiza \( L(x) \):
$$ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{5000}{2 \cdot (-1)} = \frac{5000}{2} = 2500 $$
3) Lucro máximo:
$$ L(2500) = -2500^2 + 5000 \cdot 2500 $$
$$ L = -6\,250\,000 + 12\,500\,000 = 6\,250\,000 $$
✅ Conclusão:
- Quantidade para maior lucro: $$ \boxed{2500\ \text{unidades}} $$
- Lucro máximo: $$ \boxed{R\$ 6.250.000} $$
