Questão 06. Uma tabela 4×4, preenchida com os números 0 e 1, é equilibrada quando, somando os números em cada linha, obtemos todos os inteiros de 1 a 4, o mesmo ocorrendo com as somas dos números de cada coluna. Por exemplo, a tabela ao lado é equilibrada.
a)Preencha as tabelas abaixo de modo que elas sejam equilibradas, com as linhas e colunas tendo as somas indicadas.
b) Quantas são as tabelas equilibradas com a soma de cada linha indicada abaixo?
c) Quantas são as tabelas equilibradas?
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Item a – Tabelas equilibradas com somas indicadas:
As tabelas podem ser preenchidas conforme o exemplo abaixo:
Cada tabela foi preenchida com 0 e 1 de forma que as somas das linhas e colunas correspondem exatamente aos números indicados.
Item b – Quantidade de tabelas equilibradas com linhas fixas:
Se fixarmos a soma das linhas como 4, 3, 2 e 1 (como no enunciado), a quantidade de tabelas depende da quantidade de maneiras de atribuir essas somas às colunas.
Há:
- 4 opções para a posição da soma 4
- 3 opções para a posição da soma 3
- 2 opções para a posição da soma 2
- 1 opção para a posição da soma 1
Logo:
$$ 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \text{ tabelas equilibradas} $$
✅ Conclusão do item b):
- Existem 24 tabelas equilibradas diferentes com as somas de linha fixas em 4, 3, 2 e 1.
Item c – Total de tabelas equilibradas:
Como as linhas podem estar em qualquer uma das 24 permutações possíveis e as colunas também, temos:
$$ 24 \times 24 = 576 \text{ tabelas equilibradas} $$
✅ Conclusão do item c):
- Há 576 tabelas equilibradas diferentes ao considerar todas as permutações possíveis das somas de linhas e colunas.
