Questão 32 – Equação Exponencial com Fatores (PUC-MG)
Determine o valor de \( x \) para satisfazer a equação:
$$ 3^{3x – 1} \cdot 9^{2x + 3} = 27^{3 – x} $$
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🔎 Etapa 1 – Reescrevendo tudo com base 3:
- \( 9 = 3^2 \Rightarrow 9^{2x+3} = (3^2)^{2x+3} = 3^{4x + 6} \)
- \( 27 = 3^3 \Rightarrow 27^{3 – x} = (3^3)^{3 – x} = 3^{9 – 3x} \)
Substituindo na equação:
$$ 3^{3x – 1} \cdot 3^{4x + 6} = 3^{9 – 3x} $$
🔎 Etapa 2 – Somando os expoentes do lado esquerdo:
$$ 3^{(3x – 1 + 4x + 6)} = 3^{7x + 5} $$
Então temos:
$$ 3^{7x + 5} = 3^{9 – 3x} $$
🔎 Etapa 3 – Igualando os expoentes:
$$ 7x + 5 = 9 – 3x \Rightarrow 10x = 4 \Rightarrow x = \dfrac{2}{5} $$
✅ Conclusão:
- \( \boxed{x = \dfrac{2}{5}} \)
