Regras de Derivação: Quociente e Regra da Cadeia

Na última aula, estudamos a regra do produto, também chamada de regra de Leibniz, que afirma:

Hoje, concluiremos as regras de derivação apresentando a regra do quociente e a regra da cadeia.

A Regra do Quociente

Considere duas funções diferenciáveis \( f \) e \( g \), com \( g(x) \neq 0 \) no domínio. A derivada do quociente é dada por:

Note que a parte superior lembra a regra do produto, mas com um sinal de menos.

Exemplo 1: Derivada de \( \frac{1}{x} \)

Temos \( f(x) = 1 \) e \( g(x) = x \). Assim:

Reescrevendo \( \frac{1}{x} = x^{-1} \), verificamos a regra do tombo: \((x^{-1})’ = -x^{-2}\).

Exemplo 2: Derivada de \( \frac{1}{x^n} \)

Se \( f(x) = 1 \) e \( g(x) = x^n \), temos:

Portanto, a regra do tombo se aplica para expoentes negativos: \((x^{-n})’ = -n x^{-(n+1)}.\)

A Regra da Cadeia

A regra da cadeia trata da derivada de uma função composta. Se \( h(x) = g(f(x)) \), então:

Essa regra é essencial quando derivamos expressões mais complexas, como funções trigonométricas ou exponenciais compostas.

Exemplo 3: Composição

Considere:

A composição \( h(x) = g(f(x)) \) é:

A derivada de \( h \) usando a regra do quociente é:

Se aplicarmos a regra da cadeia diretamente, obtemos o mesmo resultado:

Observações Importantes

• A regra do quociente exige que o denominador \( g(x) \neq 0 \).
• A regra da cadeia é aplicada sempre que temos uma função dentro de outra.
• Essas regras, junto à regra do tombo, permitem derivar polinômios, funções racionais e muitas funções compostas.

Exercícios Propostos

1. Calcule \(\left(\frac{x^2 + 1}{x – 1}\right)’\).
2. Use a regra da cadeia para derivar \( h(x) = \sin(x^2 + 3x) \).
3. Mostre que \(\left(\frac{1}{x^3}\right)’ = -\frac{3}{x^4}\) utilizando a regra do quociente.

Com essas três regras — produto, quociente e cadeia —, temos agora um conjunto completo para derivar uma ampla gama de funções.

Estudo da Derivada: Continuidade e Funções Definidas por Partes

Antes de começarmos a trabalhar com as regras de derivação, é importante consolidar o entendimento sobre a existência da derivada em pontos específicos de uma função. Um dos exemplos clássicos é quando temos uma função definida por partes, ou quando ocorre uma mudança brusca no comportamento da função.

Exemplo: Função Definida em Duas Partes

Vamos considerar a função \( f(x) \) definida da seguinte forma:

\( f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \ge 0 \\ 1 – 2x, & x < 0 \end{cases} \)

O objetivo é verificar se \( f(x) \) é diferenciável em \( x = 0 \). Para isso, analisamos os limites laterais da derivada:

\( f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \)

Calculando os limites laterais:

• Lado direito: Para \( x > 0 \), \( f(x) = x + 1 \). Temos:
  \( \lim_{x \to 0^{+}} \frac{(x+1) – 1}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x} = 1. \)
• Lado esquerdo: Para \( x < 0 \), \( f(x) = 1 - 2x \). Assim:
  \( \lim_{x \to 0^{-}} \frac{(1-2x) – 1}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{-2x}{x} = -2. \)

Como os limites laterais são diferentes (\(1 \neq -2\)), a derivada não existe em \( x = 0 \). Portanto, \( f \) é contínua em \( x = 0 \), mas não é diferenciável neste ponto.

Função Derivada

Para os demais pontos, temos:

\( f'(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -2, & x < 0 \end{cases} \)

Primeira Regra de Derivação

A primeira regra estudada é a multiplicação de uma função por uma constante:

Se \( g(x) = c \cdot f(x) \), então \( g'(x) = c \cdot f'(x) \).

Exemplo

Se \( f(x) = x \), então \( g(x) = 3x \). Logo, \( g'(x) = 3 \cdot 1 = 3 \).

Regras de Soma e Produto

Para duas funções \( f(x) \) e \( g(x) \):

• Soma: \( (f + g)’ = f’ + g’ \).
• Produto: \( (fg)’ = f’g + fg’ \).

Exemplo com Produto

Se \( f(x) = x \) e \( g(x) = x^2 \), então:

\( (x \cdot x^2)’ = (x)’ \cdot x^2 + x \cdot (x^2)’ = 1 \cdot x^2 + x \cdot 2x = 3x^2. \)

Fórmula Geral da Potência

Para qualquer \( n \in \mathbb{N} \), vale:

\( \frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1}. \)

Essa fórmula pode ser provada por indução ou diretamente usando as regras de produto.

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