Derivadas de Funções Logarítmicas

As funções logarítmicas desempenham um papel central no cálculo diferencial, especialmente devido à sua relação com as funções exponenciais. Neste artigo, vamos explorar como derivar funções logarítmicas, suas propriedades fundamentais e exemplos práticos de aplicação.

1. Revisão: O que é o Logaritmo?

O logaritmo é a função inversa da função exponencial. Para uma base \(a > 0\) e \(a \neq 1\), temos:

Um caso especial e muito importante é o logaritmo natural, de base \(e \approx 2,718\), que é escrito como \(\ln x = \log_e x\).

2. Derivada do Logaritmo Natural

Para derivar \(\ln x\), utilizamos a definição de derivada e o fato de que \(e^{\ln x} = x\). A derivada é dada por:

Essa fórmula é fundamental para derivar logaritmos de outras bases e funções compostas.

3. Derivada do Logaritmo de Outra Base

Se \(f(x) = \log_a x\), podemos reescrevê-lo em termos de \(\ln x\):

Assim, a derivada é:

4. Regra da Cadeia para Logaritmos

Se temos uma função composta \(f(x) = \ln(g(x))\), com \(g(x) > 0\), aplicamos a regra da cadeia:

Essa propriedade é muito útil em funções mais complexas, especialmente quando \(g(x)\) é um polinômio ou uma função exponencial.

5. Exemplos Resolvidos

Exemplo 1

Calcule a derivada de \(f(x) = \ln x^3\).

Solução: Podemos usar a propriedade \(\ln x^3 = 3 \ln x\). Assim:

Exemplo 2

Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(2x + 5)\).

Solução: Aplicando a regra da cadeia:

Exemplo 3

Calcule \(\frac{d}{dx} \log_2 (x)\).

Solução:

6. Aplicação da Derivada de Logaritmos

As derivadas de logaritmos são amplamente utilizadas em problemas de otimização, em crescimento e decaimento exponencial e até em estatística, como no cálculo de funções de verossimilhança.

Além disso, derivar logaritmos é uma técnica essencial para linearizar funções complexas, simplificando cálculos de taxas de variação.

7. Conclusão

Com as fórmulas vistas:

• \((\ln x)’ = \frac{1}{x}\);
• \((\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a}\);
• \(\frac{d}{dx} \ln(g(x)) = \frac{g'(x)}{g(x)}\),

temos as ferramentas necessárias para derivar qualquer função logarítmica, inclusive em composições e combinações com outras funções.