PROFMAT 2023 – Questão 20 | Álgebra e Equações
A diferença entre dois números positivos é 2 e o produto é 1. A soma destes dois números é igual a:
(A) 2
(B) \( 2 + 2\sqrt{2} \)
(C) \( 2 – 2\sqrt{2} \)
(D) \( 2\sqrt{2} \)
(E) \( -2\sqrt{2} \)
(B) \( 2 + 2\sqrt{2} \)
(C) \( 2 – 2\sqrt{2} \)
(D) \( 2\sqrt{2} \)
(E) \( -2\sqrt{2} \)
Resposta correta: (D) \(2\sqrt{2}\)
Sejam \(x\) e \(y\) dois números positivos tais que: \[ x – y = 2 \quad \text{e} \quad xy = 1 \]
Substituindo \(y = x-2\): \[ x(x-2) = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 – 2x – 1 = 0 \] Resolvendo a equação quadrática: \[ x = 1 + \sqrt{2} \] Como \(x > 0\), segue que \(y = x-2 = \sqrt{2}-1\) e: \[ x+y = 2\sqrt{2} \]
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