Na figura abaixo, temos um quadrado \(ABCD\) e um triângulo equilátero \(ABE\).
Indicando por \(\alpha\) o ângulo \( \widehat{ECD} \), podemos afirmar que \( \tan \alpha \) é igual a:
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Resposta correta: (E)
Chamemos a medida do lado do quadrado de \( \ell \). Seja \( FG \) o segmento paralelo a \( AD \) passando por \( E \), conforme a figura.
Assim:
\[ FG = \ell, \quad FE = \frac{\ell \sqrt{3}}{2} \] pois é a altura do triângulo equilátero de lado \( \ell \).
A tangente do ângulo \(\alpha\) pode ser calculada por: \[ \tan \alpha = \frac{EG}{GC} \] Como \( EG = FG – EF \), temos: \[ EG = \ell – \frac{\ell \sqrt{3}}{2}, \quad GC = \frac{\ell}{2} \] Logo: \[ \tan \alpha = \frac{\ell – \ell \sqrt{3}/2}{\ell / 2} = \frac{2\ell – \ell \sqrt{3}}{\ell} = 2 – \sqrt{3} \]
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