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PROFMAT 2022 – Questão 21 | Funções Racionais
Para \(x\) real, considere:
\[ m = \frac{3x^2 + 9x + 8}{3x^2 + 9x + 7} \]
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O valor máximo possível de \(m\) é:
Ver solução passo a passo
Resposta correta: (A)
Reescrevemos a fração da seguinte forma:
\[ m = \frac{3x^2 + 9x + 7 + 1}{3x^2 + 9x + 7} = 1 + \frac{1}{3x^2 + 9x + 7} \]
O valor máximo de \(m\) ocorrerá quando \(3x^2 + 9x + 7\) for mínimo. O vértice da parábola \(y = 3x^2 + 9x + 7\) está em:
\[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2} \]
O valor mínimo da função é:
\[ y_{\min} = 3\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 9\left(-\frac{3}{2}\right) + 7 = \frac{27}{4} – \frac{27}{2} + 7 = \frac{1}{4} \]
Assim, o valor máximo de \(m\) é:
\[ m_{\max} = 1 + \frac{1}{\frac{1}{4}} = 1 + 4 = 5 \]
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