(A) \( \frac{2}{5} \)
(B) \( \frac{3}{5} \)
(C) \( \frac{4}{5} \)
(D) \( \frac{6}{5} \)
(E) \( \frac{7}{5} \)
Solução Passo a Passo
1º Passo: Indique os lados como \(x-r, x, x+r\) (PA de três termos).
Para triângulo retângulo, temos:
\[ (x+r)^2 = (x-r)^2 + x^2 \]
Expandindo:
\[ x^2 + 2xr + r^2 = x^2 – 2xr + r^2 + x^2 \]
\[ x^2 + 2xr + r^2 = 2x^2 – 2xr + r^2 \]
\[ 4xr = x^2 \implies x = 4r \]
2º Passo: Logo, os lados são \(3r, 4r, 5r\).
3º Passo: Os cossenos dos ângulos agudos são:
\[ \cos \alpha = \frac{3r}{5r} = \frac{3}{5}, \quad \cos \beta = \frac{4r}{5r} = \frac{4}{5} \]
4º Passo: Soma dos cossenos:
\[ \cos \alpha + \cos \beta = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5} \]
Resposta: Alternativa E.
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Adriano Rocha
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