ITA 2024 — 1ª Fase — Questão 48 — Elipse, Círculo e Excentricidade
Considere a elipse dada pela equação
\[
\lambda x^2 + (\lambda+4)y^2 – 4x – (10\lambda + 40)y + 25(\lambda+4) – \lambda^2 = 0,
\]
e o círculo de equação \(x^2 + y^2 – 4x – 12y + 36 = 0\).
Estando o interior do círculo inteiramente contido no interior da elipse, o valor de \(\lambda\) (real) quando a excentricidade da elipse é máxima é:
Estando o interior do círculo inteiramente contido no interior da elipse, o valor de \(\lambda\) (real) quando a excentricidade da elipse é máxima é:
Alternativas:
a) 3 b) 5 c) 9 d) 13 e) 15
👀 Solução Passo a Passo
1) Colocando as duas cônicas nas formas usuais:
Para o círculo: \[ x^2 + y^2 – 4x – 12y + 36 = (x-2)^2 + (y-6)^2 = 4, \] isto é, centro \(C_1=(2,6)\) e raio \(2\).
Para a elipse, completando quadrados: \[ \lambda(x-2)^2 + (\lambda+4)(y-5)^2 = \lambda(\lambda+4), \] ou \[ \frac{(x-2)^2}{\lambda+4} + \frac{(y-5)^2}{\lambda} = 1. \] Logo, a elipse tem centro \(C_2=(2,5)\), semieixos \[ a=\sqrt{\lambda+4}\quad(\text{horizontal}),\qquad b=\sqrt{\lambda}\quad(\text{vertical}). \]
2) Excentricidade em função de \(\lambda\):
Como \(a\ge b\), então \(c^2 = a^2 – b^2 = (\lambda+4)-\lambda = 4\Rightarrow c=2\). A excentricidade é \[ e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{\lambda+4}}. \] Para maximizar \(e\), devemos minimizar \(a=\sqrt{\lambda+4}\), isto é, minimizar \(\lambda\) respeitando a inclusão do círculo na elipse.
3) Condição de inclusão do círculo na elipse:
Os centros têm a mesma abscissa e diferem verticalmente de \(1\) unidade (\(6-5=1\)). O ponto do círculo mais alto, visto a partir do centro da elipse, está a distância \[ 1 + \text{raio} = 1 + 2 = 3 \] acima de \(C_2\). Para que o círculo inteiro caiba dentro da elipse, é necessário (e no limite, suficiente) que \[ b \ge 3 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\lambda} \ge 3 \quad\Longrightarrow\quad \lambda \ge 9. \] Para maximizar \(e\) escolhemos o menor \(\lambda\) admissível: \[ \lambda_{\min}=9. \] Nesse caso, \(e_{\max}=\dfrac{2}{\sqrt{9+4}}=\dfrac{2}{\sqrt{13}}\) (apenas como referência).
Para o círculo: \[ x^2 + y^2 – 4x – 12y + 36 = (x-2)^2 + (y-6)^2 = 4, \] isto é, centro \(C_1=(2,6)\) e raio \(2\).
Para a elipse, completando quadrados: \[ \lambda(x-2)^2 + (\lambda+4)(y-5)^2 = \lambda(\lambda+4), \] ou \[ \frac{(x-2)^2}{\lambda+4} + \frac{(y-5)^2}{\lambda} = 1. \] Logo, a elipse tem centro \(C_2=(2,5)\), semieixos \[ a=\sqrt{\lambda+4}\quad(\text{horizontal}),\qquad b=\sqrt{\lambda}\quad(\text{vertical}). \]
2) Excentricidade em função de \(\lambda\):
Como \(a\ge b\), então \(c^2 = a^2 – b^2 = (\lambda+4)-\lambda = 4\Rightarrow c=2\). A excentricidade é \[ e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{\lambda+4}}. \] Para maximizar \(e\), devemos minimizar \(a=\sqrt{\lambda+4}\), isto é, minimizar \(\lambda\) respeitando a inclusão do círculo na elipse.
3) Condição de inclusão do círculo na elipse:
Os centros têm a mesma abscissa e diferem verticalmente de \(1\) unidade (\(6-5=1\)). O ponto do círculo mais alto, visto a partir do centro da elipse, está a distância \[ 1 + \text{raio} = 1 + 2 = 3 \] acima de \(C_2\). Para que o círculo inteiro caiba dentro da elipse, é necessário (e no limite, suficiente) que \[ b \ge 3 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\lambda} \ge 3 \quad\Longrightarrow\quad \lambda \ge 9. \] Para maximizar \(e\) escolhemos o menor \(\lambda\) admissível: \[ \lambda_{\min}=9. \] Nesse caso, \(e_{\max}=\dfrac{2}{\sqrt{9+4}}=\dfrac{2}{\sqrt{13}}\) (apenas como referência).
Resposta: c) \(\lambda=9\)
