ITA 2021 — 1ª Fase — Questão 47 — Equação Exponencial (estimativa por desigualdades)
A única solução real da equação
\[
7^{x}=59^{\,x-1}
\]
pertence ao intervalo:
a) \((0,\; \tfrac{2}{5}]\)
b) \((\tfrac{2}{5},\; \tfrac{4}{3}]\)
c) \((\tfrac{4}{3},\; \tfrac{5}{2}]\)
d) \((2,\; \tfrac{10}{3}]\)
e) \((\tfrac{10}{3},\; 4]\)
b) \((\tfrac{2}{5},\; \tfrac{4}{3}]\)
c) \((\tfrac{4}{3},\; \tfrac{5}{2}]\)
d) \((2,\; \tfrac{10}{3}]\)
e) \((\tfrac{10}{3},\; 4]\)
👀 Solução passo a passo
Tomando logaritmos:
\[
7^{x}=59^{x-1}\ \Longleftrightarrow\ x\log 7=(x-1)\log 59
\ \Longleftrightarrow\ \frac{x}{x-1}=\frac{\log 59}{\log 7}=\log_{7}59.
\]
Como \(7^{2}=49 \lt 59 \lt 7^{3}=343\), então
\[
2 \lt \log_{7}59 \lt 3 \quad\Longrightarrow\quad
2 \lt \frac{x}{x-1} \lt 3.
\]
A solução deve satisfazer \(x\neq 1\). Note que \(g(x)=\dfrac{x}{x-1}\) é estritamente decrescente em
\((1,\infty)\) e assume valores \(g(x)\in(1,\infty)\), logo a solução é única e \(x>1\).
Para \(x>1\), as desigualdades dão:
\[
2(x-1) \lt x \ \Longrightarrow\ x \lt 2,
\qquad
x \lt 3(x-1) \ \Longrightarrow\ x \gt \tfrac{3}{2}.
\]
Portanto
\[
\frac{3}{2} \lt x \lt 2.
\]
O único intervalo das alternativas que contém esse conjunto é
\(\left(\tfrac{4}{3},\tfrac{5}{2}\right]\).
Resposta: c) \((\tfrac{4}{3},\tfrac{5}{2}]\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — Questão 46 — 1ª Fase
