ITA 2021 — 2ª Fase — Questão 10 — Probabilidade
Uma moeda é lançada sucessivas vezes até ocorrerem duas caras. Qual a probabilidade de o número total de lançamentos ser par?
👀 Solução passo a passo
Seja \(N\) o número total de lançamentos. Para ter \(N=n\), o último lançamento precisa ser cara e,
nos \(n-1\) anteriores, deve haver exatamente uma cara:
\[
\mathbb{P}(N=n)=\binom{n-1}{1}\left(\tfrac12\right)^{n-1}\!\!\cdot\left(\tfrac12\right)
=\frac{n-1}{2^{n}},\qquad n\ge2.
\]
Logo, a probabilidade pedida é
\[
\mathbb{P}(N\text{ par})=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k-1}{2^{2k}}
=\sum_{k=1}^{\infty}(2k-1)\left(\frac{1}{4}\right)^{k}.
\]
Colocando \(x=\frac14\),
\[
\sum_{k=1}^{\infty}(2k-1)x^{k}
=2\sum_{k=1}^{\infty}k x^{k}-\sum_{k=1}^{\infty}x^{k}
=2\frac{x}{(1-x)^2}-\frac{x}{1-x}.
\]
Com \(x=\frac14\):
\[
\mathbb{P}(N\text{ par})
=2\frac{\frac14}{(1-\frac14)^2}-\frac{\frac14}{1-\frac14}
=\frac{8}{9}-\frac13=\frac{5}{9}.
\]
Resposta: \(\displaystyle \frac{5}{9}\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — 2ª Fase — Questão 9
