Antônio, Joaquim e José são sócios de uma empresa cujo capital é dividido, entre os três, em partes proporcionais a: 4, 6 e 6, respectivamente. Com a intenção de igualar a participação dos três sócios no capital da empresa, Antônio pretende adquirir uma fração do capital de cada um dos outros dois sócios.
A fração do capital de cada sócio que Antônio deverá adquirir é
- \(\dfrac{1}{2}\)
- \(\dfrac{1}{3}\)
- \(\dfrac{1}{9}\)
- \(\dfrac{2}{3}\)
- \(\dfrac{4}{3}\)
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1) Situação inicial
Total do capital \(C\). As cotas são proporcionais a \(4:6:6\Rightarrow\) somam \(16\) partes.
Logo: \[ A_0=\frac{4}{16}C=\frac{C}{4},\quad Jq_0=\frac{6}{16}C=\frac{3C}{8},\quad Js_0=\frac{6}{16}C=\frac{3C}{8}. \]
Logo: \[ A_0=\frac{4}{16}C=\frac{C}{4},\quad Jq_0=\frac{6}{16}C=\frac{3C}{8},\quad Js_0=\frac{6}{16}C=\frac{3C}{8}. \]
2) Transferência
Seja \(k\) a fração que Antônio compra de cada um dos dois sócios.
\[
A’=A_0+k(Jq_0+Js_0)=\frac{C}{4}+k\cdot\frac{3C}{4}.
\]
Os outros ficam com:
\[
Jq’=(1-k)\frac{3C}{8},\qquad Js’=(1-k)\frac{3C}{8}.
\]
Para igualar, exigimos \(A’=Jq’=Js’=\dfrac{C}{3}\).
3) Determinar \(k\)
\[
\frac{C}{4}+\frac{3kC}{4}=\frac{C}{3}\;\;\Rightarrow\;\;
\frac{1}{4}+\frac{3k}{4}=\frac{1}{3}
\;\;\Rightarrow\;\; 3+9k=4
\;\;\Rightarrow\;\; k=\boxed{\frac{1}{9}}.
\]
Gabarito: letra C — \(\displaystyle \frac{1}{9}\) do capital de cada um dos dois sócios.
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