Potenciação e Radiciação — Guia Completo
Este guia reúne os conceitos essenciais de potenciação e radiciação, mostrando como eles se relacionam e como aplicar as propriedades em exercícios. Para manter o estudo integrado aos Conjuntos Numéricos — especialmente Números Naturais, Números Inteiros, Números Racionais, Números Irracionais e Números Reais, confira também a seção de links ao final. Se precisar racionalizar denominadores, veja Racionalização.
Panorama: potenciação é multiplicação repetida; radiciação é a operação inversa.
O elo entre elas é o uso de expoentes fracionários.
1. Potenciação
Definição
\[
a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\ \text{vezes}},\quad
a\neq 0,\ n\in\mathbb{Z}.
\]
Propriedades (principais)
| Regra | Fórmula | Exemplo |
|---|---|---|
| Produto de mesma base | \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) | \(2^5\cdot2^3=2^8=256\) |
| Quociente de mesma base | \(a^m/a^n=a^{m-n}\) | \(3^4/3^2=3^2=9\) |
| Potência de potência | \((a^m)^n=a^{mn}\) | \((5^2)^3=5^6=15625\) |
| Potência de produto | \((ab)^n=a^n b^n\) | \((10)^3=1000\) pois \(2^3\cdot5^3=(2\cdot5)^3\) |
| Expoente zero | \(a^0=1\ (a\neq 0)\) | \(7^0=1\) |
| Expoente negativo | \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) | \(2^{-3}=\frac{1}{8}\) |
| Base negativa | \(({-a})^n=\begin{cases}+a^n,&n \text{ par}\\-a^n,&n \text{ ímpar}\end{cases}\) | \(({-3})^4=81;\ ({-3})^3=-27\) |
| Potências de 10 | \(10^k=\underbrace{100\ldots0}_{k\text{ zeros}}\) | \(10^{-2}=0{,}01\) |
Está começando pelos conjuntos de contagem? Revise Números Naturais. Para sinais e opostos, vá de Números Inteiros; para frações e decimais, estude Números Racionais.
Exemplos resolvidos (Potenciação)
- Exemplo P1. Calcule \(2^5\cdot2^3\).
Solução
\(2^{5+3}=2^8=256\). - Exemplo P2. Simplifique \((3^2)^4\).
Solução
\((3^2)^4=3^{8}=6561\).
2. Radiciação
Definição
\[
\sqrt[n]{a} \ \text{é o número } x \text{ tal que } x^n=a.
\quad\text{Se } n \text{ é par, exige-se } a\ge 0.
\]
Propriedades (principais)
| Regra | Fórmula | Exemplo |
|---|---|---|
| Produto sob o radical | \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\) | \(\sqrt{8}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{16}=4\) |
| Quociente sob o radical | \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\ (b>0)\) | \(\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{\frac94}=\frac32\) |
| Extração de fator | \(\sqrt{ka^2}=|a|\sqrt{k}\) | \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) |
| Índice e expoente | \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\) | \(27^{2/3}=(\sqrt[3]{27})^2=3^2=9\) |
| Radicais equivalentes | \(\sqrt[ab]{x}=\sqrt[a]{\sqrt[b]{x}}\) | \(\sqrt[12]{16}=\sqrt[3]{\sqrt[4]{16}}=\sqrt[3]{2^2}= \sqrt[3]{4}\) |
Quer ampliar o vocabulário numérico? Entenda a diferença entre Números Irracionais e Números Racionais; e veja como ambos compõem os Números Reais.
Exemplos resolvidos (Radiciação)
- Exemplo R1. Simplifique \(\sqrt{200}\).
Solução
\(200=100\cdot2\Rightarrow \sqrt{200}=10\sqrt2\). - Exemplo R2. Calcule \(\sqrt[3]{\frac{16}{2}}\).
Solução
\(\sqrt[3]{\frac{16}{2}}=\sqrt[3]{8}=2\).
3. Conexão: Expoentes fracionários
Fórmula-chave
\[
a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m,\quad a>0,\ n\in\mathbb{N}.
\]
- Exemplo C1. Avalie \(81^{1/4}\).
Solução
\(81^{1/4}=\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^4}=3\). - Exemplo C2. Avalie \(32^{3/5}\).
Solução
\(32^{3/5}=(\sqrt[5]{32})^3=2^3=8\).
🧠 Exercícios Propostos
Resolva e depois confira no gabarito (clique para abrir).
4.1 Potenciação
- \(2^4\cdot2^5\)
- \(\dfrac{5^7}{5^3}\)
- \((3^2)^4\)
- \(2^3\cdot4^3\)
- \(7^0+10^{-2}\)
- \big(\(6^{-2}\)\big)\(^{-1}\)
- \(\dfrac{3^{-2}}{3^{-5}}\)
- \((-2)^5+(-2)^4\)
4.2 Radiciação
- \(\sqrt{200}\)
- \(\sqrt[3]{54}\)
- \(\sqrt{\dfrac{18}{8}}\)
- \(\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}\)
- \(\sqrt{72}-2\sqrt{18}+3\sqrt{8}\)
- \(\sqrt[4]{16}\cdot\sqrt[4]{2}\)
- \(\sqrt[3]{\tfrac{1}{8}}+\sqrt[3]{64}-\sqrt{0{,}81}\)
- \(\sqrt[6]{64}\cdot\sqrt[3]{8}\)
📘 Gabarito (clique para ver cada item)
Gabarito — Potenciação
- \(2^4\cdot2^5=2^{9}=512\)
- \(\dfrac{5^7}{5^3}=5^{4}=625\)
- \((3^2)^4=3^8=6561\)
- \(2^3\cdot4^3=(2\cdot4)^3=8^3=512\)
- \(7^0+10^{-2}=1+0{,}01=1{,}01=\dfrac{101}{100}\)
- \((6^{-2})^{-1}=6^{2}=36\)
- \(\dfrac{3^{-2}}{3^{-5}}=3^{-2-(-5)}=3^{3}=27\)
- \((-2)^5+(-2)^4=-32+16=-16\)
Gabarito — Radiciação
- \(\sqrt{200}=10\sqrt2\)
- \(\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]{2}\)
- \(\sqrt{\tfrac{18}{8}}=\sqrt{\tfrac94}=\tfrac32\)
- \(\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{9}=3\)
- \(\sqrt{72}-2\sqrt{18}+3\sqrt{8}=6\sqrt2-6\sqrt2+6\sqrt2=6\sqrt2\)
- \(\sqrt[4]{16}\cdot\sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{32}=2\sqrt[4]{2}\)
- \(\sqrt[3]{\tfrac{1}{8}}+\sqrt[3]{64}-\sqrt{0{,}81}=\tfrac12+4-0{,}9=\tfrac{18}{5}\)
- \(\sqrt[6]{64}\cdot\sqrt[3]{8}=2\cdot2=4\)
🔗 Leia também (fundamentos e conjuntos)
Quiz de Potenciação e Radiciação
Acertos: 0/16- Calcule: \(2^4\cdot 2^5\)
Solução
\(2^{4+5}=2^9=512\). - Simplifique: \(\dfrac{5^7}{5^3}\)
Solução
\(\frac{5^7}{5^3}=5^{7-3}=5^4=625\). - Calcule: \((3^2)^4\)
Solução
\((3^2)^4=3^{8}=6561\). - Calcule: \(2^3\cdot 4^3\)
Solução
\((2\cdot4)^3=8^3=512\). - Avalie: \(7^0+10^{-2}\)
Solução
\(1+0{,}01=1{,}01=\frac{101}{100}\). - Simplifique: \(\big(6^{-2}\big)^{-1}\)
Solução
\((a^{-n})^{-1}=a^n\Rightarrow 6^2=36\). - Simplifique: \(\dfrac{3^{-2}}{3^{-5}}\)
Solução
\(3^{-2-(-5)}=3^3=27\). - Calcule: \(({-2})^5+({-2})^4\)
Solução
\(-32+16=-16\). - Simplifique: \(\sqrt{200}\)
Solução
\(\sqrt{100\cdot2}=10\sqrt2\). - Simplifique: \(\sqrt[3]{54}\)
Solução
\(54=27\cdot2\Rightarrow 3\sqrt[3]{2}\). - Calcule: \(\sqrt{\dfrac{18}{8}}\)
Solução
\(\sqrt{18/8}=\sqrt{9/4}=3/2\). - Simplifique: \(\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}\)
Solução
\(\sqrt{27}/\sqrt{3}=\sqrt{9}=3\). - Simplifique: \(\sqrt{72}-2\sqrt{18}+3\sqrt{8}\)
Solução
\(\sqrt{72}=6\sqrt2,\ 2\sqrt{18}=6\sqrt2,\ 3\sqrt8=6\sqrt2 \Rightarrow 6\sqrt2\). - Simplifique: \(\sqrt[4]{16}\cdot\sqrt[4]{2}\)
Solução
\(\sqrt[4]{16}\cdot\sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{32}=2\sqrt[4]{2}\). - Calcule: \(\sqrt[3]{\tfrac{1}{8}}+\sqrt[3]{64}-\sqrt{0{,}81}\)
Solução
\(\tfrac12+4-0{,}9=3{,}6=\dfrac{18}{5}\). - Calcule: \(\sqrt[6]{64}\cdot\sqrt[3]{8}\)
Solução
\(\sqrt[6]{64}=2,\ \sqrt[3]{8}=2\Rightarrow 2\cdot2=4\).
