Segmento Circular

O segmento circular é a região do círculo limitada por uma corda e pelo arco correspondente. Nesta página, reunimos fórmulas (em radianos e graus), relações com corda e flecha/sagita, exemplos resolvidos e exercícios.

Conteúdos complementares para interligar: Circunferência e Círculo, Área do Círculo, Área do Setor Circular, Raio, Diâmetro e Cordas.

Definição e elementos

Raio \(r\), ângulo central \(\theta\) (em radianos) ou \(\alpha\) (em graus).
Corda \(c\) que delimita o segmento com o arco.
Flecha (sagita) \(h\): distância do meio da corda ao arco (na direção do centro).

Fórmulas essenciais

\[ \textbf{Área pelo ângulo (radianos):}\qquad \boxed{A_{\text{seg}}=\frac{r^2}{2}\,\bigl(\theta-\sin\theta\bigr)} \]

\[ \textbf{Área pelo ângulo (graus):}\qquad \theta=\frac{\pi}{180^\circ}\alpha \quad \Rightarrow \quad A_{\text{seg}}=\frac{r^2}{2}\left(\frac{\pi\alpha}{180^\circ}-\sin\frac{\pi\alpha}{180^\circ}\right) \]

\[ \textbf{Corda e flecha (com o ângulo):}\qquad c=2r\sin\!\left(\frac{\alpha}{2}\right),\quad h=r\!\left(1-\cos\!\frac{\alpha}{2}\right) \]

\[ \textbf{Área pelo raio e flecha (sem ângulo):}\qquad \boxed{A_{\text{seg}}=r^2\arccos\!\left(\frac{r-h}{r}\right)-(r-h)\sqrt{2rh-h^2}} \]

Útil quando você mede a flecha \(h\) diretamente.

Exemplos resolvidos (passo a passo)

1) Área do segmento pelo ângulo (graus)

Em um círculo de raio \(r=10\,\text{cm}\), a corda subtende um ângulo central \(\alpha=72^\circ\). Calcule \(A_{\text{seg}}\).

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\[ \begin{aligned} \theta&=\frac{\pi}{180^\circ}\alpha\\ &=\frac{\pi}{180^\circ}\cdot 72^\circ\\ &=\frac{2\pi}{5}\\[6pt] A_{\text{seg}}&=\frac{r^2}{2}\left(\theta-\sin\theta\right)\\ &=\frac{10^2}{2}\left(\frac{2\pi}{5}-\sin\frac{2\pi}{5}\right)\\ &=50\left(\frac{2\pi}{5}-\sin 72^\circ\right)\\ &\approx 50\left(1{,}2566-0{,}9511\right)\\ &\approx \boxed{15{,}28\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]

2) Área do segmento pela flecha

Um arco em um círculo de raio \(r=12\,\text{cm}\) tem flecha \(h=2{,}5\,\text{cm}\). Encontre \(A_{\text{seg}}\).

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\[ \begin{aligned} A_{\text{seg}}&=r^2\arccos\!\left(\frac{r-h}{r}\right)-(r-h)\sqrt{2rh-h^2}\\ &=144\arccos\!\left(\frac{12-2{,}5}{12}\right)-(9{,}5)\sqrt{2\cdot 12\cdot 2{,}5-2{,}5^2}\\ &=144\arccos\!\left(0{,}7917\right)-(9{,}5)\sqrt{60-6{,}25}\\ &=144\cdot 0{,}6471\ -\ 9{,}5\cdot \sqrt{53{,}75}\\ &=93{,}18\ -\ 9{,}5\cdot 7{,}329\\ &\approx 93{,}18\ -\ 69{,}63\\ &\approx \boxed{23{,}55\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]

3) Comparando setor e triângulo (definição clássica)

Mostre que \(A_{\text{seg}}=A_{\text{set}}-A_{\triangle}\) para um segmento determinado por \(\theta\) (rad) em um círculo de raio \(r\).

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\[ \begin{aligned} A_{\text{set}}&=\frac{\theta}{2}r^2\\ A_{\triangle}&=\frac{1}{2}r^2\sin\theta \quad(\text{triângulo isósceles dos raios})\\[6pt] A_{\text{seg}}&=A_{\text{set}}-A_{\triangle}\\ &=\frac{\theta}{2}r^2-\frac{1}{2}r^2\sin\theta\\ &=\boxed{\frac{r^2}{2}\,(\theta-\sin\theta)} \end{aligned} \]

Exercícios resolvidos

(E1) Segmento por ângulo em radianos

Num círculo de raio \(r=8\,\text{cm}\), a abertura é \(\theta=1{,}1\,\text{rad}\). Calcule a área do segmento.

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\[ \begin{aligned} A_{\text{seg}}&=\frac{r^2}{2}(\theta-\sin\theta)\\ &=\frac{64}{2}\,(1{,}1-\sin 1{,}1)\\ &=32\,(1{,}1-0{,}8911)\\ &=32\cdot 0{,}2089\\ &=\boxed{6{,}68\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]

(E2) Segmento por ângulo em graus

Para \(r=15\,\text{cm}\) e \(\alpha=40^\circ\), determine \(A_{\text{seg}}\).

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\[ \begin{aligned} \theta&=\frac{\pi}{180^\circ}\alpha\\ &=\frac{\pi}{180^\circ}\cdot 40^\circ\\ &=\frac{2\pi}{9}\\[6pt] A_{\text{seg}}&=\frac{r^2}{2}(\theta-\sin\theta)\\ &=\frac{225}{2}\left(\frac{2\pi}{9}-\sin\frac{2\pi}{9}\right)\\ &=112{,}5\left(0{,}6981-0{,}6428\right)\\ &\approx \boxed{6{,}27\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]

(E3) Segmento a partir da flecha

Um arco de raio \(r=20\,\text{cm}\) tem flecha \(h=3\,\text{cm}\). Encontre \(A_{\text{seg}}\).

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\[ \begin{aligned} A_{\text{seg}}&=r^2\arccos\!\left(\frac{r-h}{r}\right)-(r-h)\sqrt{2rh-h^2}\\ &=400\arccos\!\left(\frac{17}{20}\right)-17\sqrt{120-9}\\ &=400\cdot 0{,}553574\ -\ 17\cdot 10{,}535653\\ &=221{,}4296\ -\ 179{,}1061\\ &\approx \boxed{42{,}32\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]

Continue estudando (linkagem interna)

Área do Círculo — base para todas as áreas envolvendo raios.
Área do Setor Circular — necessário para deduzir o segmento via \(A_{\text{set}}-A_{\triangle}\).
Raio, Diâmetro e Cordas — relações \(c=2r\sin(\alpha/2)\) e flecha.
Comprimento da Circunferência — arcos \(L=r\theta\) e proporção em graus.