Volume da Esfera — 15 exercícios com soluções

Pratique o cálculo do volume da esfera usando a fórmula \( V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3} \). Se precisar revisar conceitos, veja: Esfera, Corpos redondos, Exercício Esfera, Cubo e Paralelepípedo.

Exercícios (múltipla escolha, grau progressivo)

Use \( \pi \approx 3{,}1416 \) quando o enunciado pedir aproximações. Nas soluções, cada passo aparece em linha separada, no sistema abre/fecha (azul fechado, verde aberto).

1) Raio conhecido (básico). Uma esfera tem raio \(r=2\text{ cm}\). Qual é o volume exato da esfera?

\(8\pi\ \text{cm}^{3}\)
\(\dfrac{32}{3}\pi\ \text{cm}^{3}\)
\(32\pi\ \text{cm}^{3}\)
\(\dfrac{16}{3}\pi\ \text{cm}^{3}\)

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\(V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 2^{3}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 8\)

\(V=\boxed{\dfrac{32}{3}\pi\ \text{cm}^{3}}\approx 33{,}51\ \text{cm}^{3}\)

Resposta: B.

2) Diâmetro informado. Uma esfera tem diâmetro \(10\text{ cm}\). Determine o volume exato.

\(\dfrac{250}{3}\pi\ \text{cm}^{3}\)
\(\dfrac{500}{3}\pi\ \text{cm}^{3}\)
\(500\pi\ \text{cm}^{3}\)
\(250\pi\ \text{cm}^{3}\)

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\(d=10\ \Rightarrow\ r=\dfrac{d}{2}=5\ \text{cm}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 5^{3}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 125\)

\(V=\boxed{\dfrac{500}{3}\pi\ \text{cm}^{3}}\approx 523{,}60\ \text{cm}^{3}\)

Resposta: B.

3) Encontrando o raio a partir do volume. O volume de uma esfera é \(36\pi\ \text{cm}^{3}\). Qual é o seu raio?

\(2\ \text{cm}\)
\(3\ \text{cm}\)
\(4\ \text{cm}\)
\(6\ \text{cm}\)

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\(\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=36\pi\)

\(r^{3}=\dfrac{3\cdot 36}{4}=27\)

\(r=\sqrt[3]{27}=3\ \text{cm}\)

Resposta: B.

4) Capacidade em litros. Um pequeno reservatório esférico tem raio \(0{,}5\ \text{m}\). Qual é a capacidade aproximada em litros?

\(418{,}88\ \text{L}\)
\(500{,}00\ \text{L}\)
\(523{,}60\ \text{L}\)
\(628{,}32\ \text{L}\)

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\(V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 0{,}5^{3}\ \text{m}^{3}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 0{,}125=0{,}5236\ \text{m}^{3}\)

Como \(1\ \text{m}^{3}=1000\ \text{L}\Rightarrow V\approx \boxed{523{,}60\ \text{L}}\)

Resposta: C.

5) Do volume ao diâmetro. Uma esfera maciça possui volume \(288\pi\ \text{cm}^{3}\). Qual é o seu diâmetro?

\(10\ \text{cm}\)
\(12\ \text{cm}\)
\(14\ \text{cm}\)
\(16\ \text{cm}\)

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\(\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=288\pi\Rightarrow r^{3}=216\)

\(r=\sqrt[3]{216}=6\ \text{cm}\)

\(d=2r=12\ \text{cm}\)

Resposta: B.

6) Sorvete em “meia-esfera”. Uma bola de sorvete forma um hemisfério de raio \(3\ \text{cm}\). Qual é o volume de uma bola?

\(12\pi\ \text{cm}^{3}\)
\(18\pi\ \text{cm}^{3}\)
\(27\pi\ \text{cm}^{3}\)
\(36\pi\ \text{cm}^{3}\)

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\(V_{\text{hemisf.}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=\dfrac{2}{3}\pi r^{3}\)

\(V=\dfrac{2}{3}\pi\cdot 3^{3}=\dfrac{2}{3}\pi\cdot 27\)

\(V=\boxed{18\pi\ \text{cm}^{3}}\approx 56{,}55\ \text{cm}^{3}\)

Resposta: B.

7) Fundição sem perdas. Uma esfera de raio \(4\ \text{cm}\) é derretida para produzir esferas menores de raio \(2\ \text{cm}\). Quantas esferas menores são obtidas?

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Número \(N=\dfrac{V_{4}}{V_{2}}=\dfrac{\frac{4}{3}\pi\cdot 4^{3}}{\frac{4}{3}\pi\cdot 2^{3}}\)

\(N=\dfrac{64}{8}=\boxed{8}\)

Resposta: C.

8) Inflação do raio. Uma bola foi inflada de modo que o raio aumentou \(10\%\). De quanto, aproximadamente, aumentou o volume?

\(10\%\)
\(21\%\)
\(33{,}1\%\)
\(46{,}4\%\)

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Fator do raio: \(1{,}10\)

Fator do volume: \(1{,}10^{3}=1{,}331\)

Aumento \(=1{,}331-1=0{,}331\Rightarrow \boxed{33{,}1\%}\)

Resposta: C.

9) Tanque esférico parcialmente cheio. Um reservatório esférico de raio \(1{,}8\ \text{m}\) armazena gás. Em um certo momento ele está com \(80\%\) de sua capacidade. Qual é o volume de gás em litros, aproximadamente?

\(18\,300\ \text{L}\)
\(19\,543\ \text{L}\)
\(20\,000\ \text{L}\)
\(24\,429\ \text{L}\)

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\(V_{\text{total}}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 1{,}8^{3}\)

\(1{,}8^{3}=5{,}832\Rightarrow \dfrac{4}{3}\cdot 5{,}832=7{,}776\)

\(V_{\text{total}}=7{,}776\pi\ \text{m}^{3}\approx 24{,}429\ \text{m}^{3}\)

Em litros: \(24{,}429\ \text{m}^{3}\approx 24\,429\ \text{L}\)

\(V_{80\%}=0{,}8\cdot 24\,429\approx \boxed{19\,543\ \text{L}}\)

Resposta: B.

10) Esfera inscrita no cubo. Um cubo tem aresta \(10\ \text{cm}\) e contém uma esfera perfeitamente inscrita. Qual é o volume da esfera?

\(\dfrac{500}{3}\pi\ \text{cm}^{3}\)
\(1000\pi\ \text{cm}^{3}\)
\(500\pi\ \text{cm}^{3}\)
\(\dfrac{250}{3}\pi\ \text{cm}^{3}\)

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A esfera inscrita tem \(r=\dfrac{10}{2}=5\ \text{cm}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 5^{3}=\boxed{\dfrac{500}{3}\pi\ \text{cm}^{3}}\approx 523{,}60\ \text{cm}^{3}\)

Resposta: A.

11) Comparação de esferas. Duas esferas \(A\) e \(B\) têm volumes na razão \(1:8\). Qual é a razão entre seus raios \(r_A:r_B\)?

\(1:4\)
\(1:3\)
\(1:2\)
\(2:3\)

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\(V\propto r^{3}\Rightarrow \dfrac{V_A}{V_B}=\left(\dfrac{r_A}{r_B}\right)^{3}=1:8\)

\(\dfrac{r_A}{r_B}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \boxed{1:2}\)

Resposta: C.

12) Fusão de esferas idênticas. Três esferas de raio \(3\ \text{cm}\) são fundidas para formar uma única esfera. Qual é, aproximadamente, o raio da nova esfera?

\(3{,}8\ \text{cm}\)
\(4{,}0\ \text{cm}\)
\(4{,}3\ \text{cm}\)
\(4{,}6\ \text{cm}\)

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\(3\cdot \dfrac{4}{3}\pi\cdot 3^{3}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot R^{3}\)

\(R^{3}=81\Rightarrow R=\sqrt[3]{81}\approx \boxed{4{,}33\ \text{cm}}\)

Resposta: C.

13) Massa de uma esfera metálica. Uma esfera de aço tem raio \(3\ \text{cm}\). Sabendo que a densidade do aço é cerca de \(7{,}8\ \text{g/cm}^{3}\), qual é a massa aproximada da peça?

\(0{,}45\ \text{kg}\)
\(0{,}88\ \text{kg}\)
\(1{,}20\ \text{kg}\)
\(1{,}50\ \text{kg}\)

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\(V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 3^{3}\approx 113{,}0976\ \text{cm}^{3}\)

\(\text{massa}=V\cdot \rho\approx 113{,}0976\cdot 7{,}8\approx 882{,}16\ \text{g}\)

\(\text{massa}\approx \boxed{0{,}88\ \text{kg}}\)

Resposta: B.

14) Gota de chuva. Considere uma gota esférica de raio \(1{,}2\ \text{mm}\). Qual é o seu volume em microlitros (µL)? Dica: \(1\ \mu\text{L}=1\ \text{mm}^{3}\).

\(5{,}00\ \mu\text{L}\)
\(6{,}28\ \mu\text{L}\)
\(7{,}24\ \mu\text{L}\)
\(9{,}05\ \mu\text{L}\)

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\(V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 1{,}2^{3}\)

\(1{,}2^{3}=1{,}728\Rightarrow V= \dfrac{4}{3}\cdot 1{,}728\cdot \pi = 2{,}304\pi\ \text{mm}^{3}\)

\(V\approx 2{,}304\cdot 3{,}1416= \boxed{7{,}24\ \mu\text{L}}\)

Resposta: C.

15) Perda de volume e variação do raio. Um balão esférico perdeu \(20\%\) do seu volume após algumas horas. Considerando a relação entre volume e raio, qual é, aproximadamente, a redução percentual no raio?

\(5{,}0\%\)
\(6{,}0\%\)
\(6{,}7\%\)
\(7{,}2\%\)

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Se \(V\) cai para \(0{,}80V\), então \(\left(\dfrac{r_{\text{novo}}}{r}\right)^{3}=0{,}80\)

\( \dfrac{r_{\text{novo}}}{r}=0{,}80^{1/3}\approx 0{,}9283 \)

\(\%\ \text{redução}=1-0{,}9283\approx 0{,}0717= \boxed{7{,}2\%}\)

Resposta: D.

Dica para provas: memorize \(V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\) e lembre-se de que o volume cresce com o cubo do raio. Pequenas variações em \(r\) produzem grandes impactos em \(V\). Para revisar teoria e exemplos adicionais, consulte Esfera e a coleção de Exercícios de Esfera. Compare ainda com sólidos como Cubo e Paralelepípedo dentro do tema Corpos redondos.

Conclusão

Neste conjunto de 15 exercícios, você aplicou a fórmula \(V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\) em situações diretas, com diâmetro, conversões de unidades, escalas, fusão e divisão de esferas, além de problemas práticos (densidade, reservatórios e gotas). Continue praticando com mais itens em Exercício Esfera e aprofunde a teoria em Esfera.