Esfera: Área, Volume, Fuso Esférico e Cunha Esférica
A esfera é um dos principais corpos redondos. Todos os pontos da sua superfície estão à mesma distância do centro; essa distância é o raio \(r\). Para revisar a teoria geral, consulte Esfera e, para praticar, acesse Exercício Esfera. Compare com sólidos de faces planas: Cubo e Paralelepípedo.
Fórmulas essenciais
- Unidades quadradas (cm², m²…)
- Com diâmetro \(d=2r\): \(A=\pi d^{2}\)
- Unidades cúbicas (cm³, m³…)
- Com diâmetro \(d\): \( \displaystyle V=\frac{\pi}{6}d^{3} \)
Fuso esférico e cunha esférica
Um fuso esférico (também chamado lúnula) é a “faixa” da superfície compreendida entre dois meridianos que formam ângulo central \(\alpha\). A cunha esférica (ou setor esférico) é o sólido correspondente no interior da esfera.
Proporcionalidade: tanto o fuso quanto a cunha são frações da área/volume total da esfera, diretamente proporcionais ao ângulo (\(\alpha\) em graus ou \(\theta\) em radianos). Exemplos: \(\alpha=180^\circ\) → hemisfério \((A=2\pi r^{2},\ V= \tfrac{2}{3}\pi r^{3})\); \(\alpha=360^\circ\) → esfera inteira.
Intuição/derivação curta
- De \(V\) para \(A\): \( \displaystyle \frac{d}{dr}\!\left(\frac{4}{3}\pi r^{3}\right)=4\pi r^{2}=A \). A área é a taxa de variação do volume quando o raio cresce.
- Regra de três angular: a área da esfera é \(4\pi r^{2}\) para \(360^\circ\). Logo, para \(\alpha^\circ\), \(A_{\text{fuso}}=\dfrac{\alpha}{360}\cdot 4\pi r^{2}=\dfrac{\pi r^{2}\alpha}{90}\). Idem para o volume: \(V_{\text{cunha}}=\dfrac{\alpha}{360}\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3}=\dfrac{\pi r^{3}\alpha}{270}\).
Erros comuns
- Confundir unidades: \(A\) em m²/cm² e \(V\) em m³/cm³.
- Usar \(r^{3}\) na área (é \(r^{2}\)).
- Esquecer de converter graus ↔ radianos ao aplicar as fórmulas com \(\theta\).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Área e volume da esfera. Para \(r=6\ \text{cm}\), calcule \(A\) e \(V\).
Exemplo 2 — Fuso e cunha (graus). Para \(r=5\ \text{cm}\) e \(\alpha=120^\circ\), encontre \(A_{\text{fuso}}\) e \(V_{\text{cunha}}\) (exatos).
Exemplo 3 — Fuso e cunha (radianos). Para \(r=3\ \text{m}\) e \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\), calcule \(A_{\text{fuso}}\) e \(V_{\text{cunha}}\).
Exercícios (múltipla escolha)
Em todos, use \(A=4\pi r^{2}\), \(V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}\), \(A_{\text{fuso}}=\dfrac{\pi r^{2}\alpha}{90}\) e \(V_{\text{cunha}}=\dfrac{\pi r^{3}\alpha}{270}\) (para \(\alpha\) em graus). Em radianos (\(\theta\)): \(A_{\text{fuso}}=2\theta r^{2}\) e \(V_{\text{cunha}}=\dfrac{2}{3}\theta r^{3}\).
1) Uma esfera tem raio \(4\ \text{cm}\). O par \((A,V)\) correto é:
- \((64\pi\ \text{cm}^{2},\ 64\pi\ \text{cm}^{3})\)
- \((64\pi\ \text{cm}^{2},\ \tfrac{256}{3}\pi\ \text{cm}^{3})\)
- \((32\pi\ \text{cm}^{2},\ \tfrac{256}{3}\pi\ \text{cm}^{3})\)
- \((32\pi\ \text{cm}^{2},\ 64\pi\ \text{cm}^{3})\)
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Resposta: B.
2) Para uma esfera com área total \(A=144\pi\ \text{cm}^{2}\), calcule a área de um fuso de \(\alpha=45^\circ\) e o volume da cunha correspondente.
- \(18\pi\ \text{cm}^{2}\) e \(36\pi\ \text{cm}^{3}\)
- \(36\pi\ \text{cm}^{2}\) e \(18\pi\ \text{cm}^{3}\)
- \(12\pi\ \text{cm}^{2}\) e \(24\pi\ \text{cm}^{3}\)
- \(24\pi\ \text{cm}^{2}\) e \(12\pi\ \text{cm}^{3}\)
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Resposta: A.
3) Para \(r=7\ \text{cm}\) e \(\alpha=180^\circ\) (hemisfério), a área curva e o volume são, respectivamente:
- \(98\pi\ \text{cm}^{2}\) e \(\tfrac{686}{3}\pi\ \text{cm}^{3}\)
- \(196\pi\ \text{cm}^{2}\) e \(\tfrac{343}{3}\pi\ \text{cm}^{3}\)
- \(49\pi\ \text{cm}^{2}\) e \(\tfrac{343}{6}\pi\ \text{cm}^{3}\)
- \(98\pi\ \text{cm}^{2}\) e \(343\pi\ \text{cm}^{3}\)
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Resposta: A.
4) Em radianos: para \(r=10\ \text{cm}\) e \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\), determine \(A_{\text{fuso}}\) e \(V_{\text{cunha}}\).
- \(\dfrac{100\pi}{3}\ \text{cm}^{2}\) e \(\dfrac{1000\pi}{9}\ \text{cm}^{3}\)
- \(\dfrac{50\pi}{3}\ \text{cm}^{2}\) e \(\dfrac{500\pi}{9}\ \text{cm}^{3}\)
- \(100\pi\ \text{cm}^{2}\) e \(1000\pi\ \text{cm}^{3}\)
- \(\dfrac{200\pi}{3}\ \text{cm}^{2}\) e \(\dfrac{2000\pi}{9}\ \text{cm}^{3}\)
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Resposta: A.
5) Uma esfera tem \(V=36\pi\ \text{cm}^{3}\). Para que a cunha tenha volume \(12\pi\ \text{cm}^{3}\), o ângulo \(\alpha\) (em graus) deve ser:
- \(60^\circ\)
- \(90^\circ\)
- \(120^\circ\)
- \(180^\circ\)
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Resposta: C.
6) Uma cúpula esférica de raio \(8\ \text{m}\) será pintada apenas em um fuso de \(\alpha=60^\circ\). A área a pintar é, aproximadamente:
- \(101\ \text{m}^{2}\)
- \(120{,}6\ \text{m}^{2}\)
- \(134{,}0\ \text{m}^{2}\)
- \(201{,}1\ \text{m}^{2}\)
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Resposta: C.
7) Quantas cunhas esféricas de \(\alpha=30^\circ\) são necessárias para compor a esfera inteira?
- 6
- 8
- 12
- 24
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Resposta: C.
8) Sabe-se que um fuso de \(\alpha=90^\circ\) tem área \(200\pi\ \text{cm}^{2}\). Determine o raio e o volume da cunha correspondente (exatos).
- \(r=10\ \text{cm}\) e \(V=\dfrac{1000}{3}\pi\ \text{cm}^{3}\)
- \(r=10\sqrt{2}\ \text{cm}\) e \(V=\dfrac{2000\sqrt{2}}{3}\pi\ \text{cm}^{3}\)
- \(r=20\ \text{cm}\) e \(V=\dfrac{8000}{3}\pi\ \text{cm}^{3}\)
- \(r=5\sqrt{2}\ \text{cm}\) e \(V=\dfrac{250\sqrt{2}}{3}\pi\ \text{cm}^{3}\)
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Resposta: B.
Para continuar estudando
- Esfera — definição, elementos e propriedades.
- Exercício Esfera — mais listas com passo a passo.
- Corpos redondos — visão geral de sólidos de revolução.
- Compare com poliedros: Cubo e Paralelepípedo.
