Cunha Esférica (Setor Esférico): guia completo

A cunha esférica (também chamada setor esférico) é o sólido interno da esfera correspondente a um fuso esférico na superfície. Em outras palavras, é a “fatia 3D” da esfera delimitada por dois meridianos que fazem ângulo central \(\alpha\) no centro. Para revisar outros sólidos de revolução, veja corpos redondos. Para praticar área/volume da esfera, acesse exercício esfera. Compare com poliedros: cubo e paralelepípedo.

Fórmulas essenciais

Intuição e checagens rápidas

• \(\alpha=360^\circ\Rightarrow V_{\text{cunha}}=\dfrac{\pi r^{3}\cdot 360}{270}= \dfrac{4}{3}\pi r^{3}\) (esfera completa).
• \(\alpha=180^\circ\Rightarrow V=\dfrac{2}{3}\pi r^{3}\) (hemisfério).
• Se dobrar o raio \(r\), o volume da cunha octuplica (proporcional a \(r^{3}\)).

Exemplos resolvidos (passo a passo)

Exemplo 1 — Graus. Numa esfera de raio \(r=6\ \text{cm}\), calcule o volume da cunha para \(\alpha=120^\circ\).

Exemplo 2 — Radianos. Uma esfera tem raio \(r=3\ \text{m}\). Para \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\), determine \(V\).

Exemplo 3 — A partir do volume total. Uma esfera de raio \(r\) tem volume \( \tfrac{4}{3}\pi r^{3}=288\pi\ \text{cm}^{3}\). Qual o volume da cunha para \(\alpha=45^\circ\)?

Exercícios (múltipla escolha, enunciados completos)

1) Considere uma esfera de raio \(r=4\ \text{cm}\). Para um ângulo central \(\alpha=90^\circ\), qual é o volume da cunha (forma exata)?

1. \(16\pi\ \text{cm}^{3}\)
2. \(32\pi\ \text{cm}^{3}\)
3. \( \dfrac{64}{3}\pi\ \text{cm}^{3} \)
4. \( \dfrac{128}{3}\pi\ \text{cm}^{3} \)

2) Uma esfera de raio \(r=5\ \text{cm}\) possui uma cunha com ângulo \(\alpha=30^\circ\). O volume da cunha é:

1. \( \dfrac{125\pi}{27}\ \text{cm}^{3} \)
2. \( \dfrac{125\pi}{9}\ \text{cm}^{3} \)
3. \( \dfrac{250\pi}{9}\ \text{cm}^{3} \)
4. \( \dfrac{500\pi}{27}\ \text{cm}^{3} \)

3) Uma cunha ocupa 20% do volume de uma esfera de raio \(r=6\ \text{cm}\). Qual é o ângulo \(\alpha\) em graus?

1. \(60^\circ\)
2. \(72^\circ\)
3. \(90^\circ\)
4. \(120^\circ\)

4) Em uma esfera de raio \(r=3\ \text{m}\), a cunha tem ângulo em radianos \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\). O volume é:

1. \( \dfrac{9\pi}{2}\ \text{m}^{3} \)
2. \( 3\pi\ \text{m}^{3} \)
3. \( 9\pi\ \text{m}^{3} \)
4. \( 6\pi\ \text{m}^{3} \)

5) Uma cunha de \(\alpha=45^\circ\) é retirada de uma esfera de raio \(r=8\ \text{cm}\). Qual o volume removido?

1. \( \dfrac{256\pi}{9}\ \text{cm}^{3} \)
2. \( \dfrac{512\pi}{9}\ \text{cm}^{3} \)
3. \( \dfrac{1024\pi}{27}\ \text{cm}^{3} \)
4. \( \dfrac{2048\pi}{27}\ \text{cm}^{3} \)

6) Em uma esfera de raio \(r=10\ \text{cm}\), deseja-se que a cunha tenha volume \(V=100\pi\ \text{cm}^{3}\). Qual é o ângulo \(\alpha\) em graus?

1. \(18^\circ\)
2. \(27^\circ\)
3. \(36^\circ\)
4. \(45^\circ\)

7) Uma esfera de raio \(r\) tem volume total \(V_T=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}\). Qual é a razão \( \dfrac{V_{\text{cunha}}}{V_T} \) para uma cunha de ângulo \(\theta\) (radianos)?

1. \(\theta/\pi\)
2. \(\theta/(2\pi)\)
3. \(\theta/3\)
4. \(2\theta/3\)

8) Uma cunha ocupa \(\alpha=150^\circ\) de uma esfera de raio \(r=2\ \text{m}\). Calcule \(V\) em \( \text{m}^{3} \) (aprox. com \( \pi\approx 3{,}1416 \)).

1. \(5{,}59\)
2. \(7{,}33\)
3. \(8{,}76\)
4. \(9{,}29\)

9) Em uma esfera de raio \(r=12\ \text{cm}\), duas cunhas não sobrepostas possuem \(\alpha_1=20^\circ\) e \(\alpha_2=35^\circ\). Qual é o volume total dessas cunhas (exato)?

1. \( \dfrac{13824\pi}{27}\ \text{cm}^{3} \)
2. \( \dfrac{2304\pi}{3}\ \text{cm}^{3} \)
3. \( \dfrac{1152\pi}{3}\ \text{cm}^{3} \)
4. \( \dfrac{576\pi}{3}\ \text{cm}^{3} \)

10) Uma esfera de raio \(r=9\ \text{cm}\) tem uma cunha cujo volume é \(V=162\pi\ \text{cm}^{3}\). Determine o ângulo \(\alpha\) (graus).

1. \(30^\circ\)
2. \(45^\circ\)
3. \(60^\circ\)
4. \(90^\circ\)

Links internos para aprofundar

• Esfera — elementos, área, volume e propriedades.
• Exercício Esfera — listas progressivas com gabarito comentado.
• Corpos redondos — visão geral (cilindro, cone, esfera…).
• Para contraste com poliedros: Cubo e Paralelepípedo.

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