Matriz Quadrada
A matriz quadrada é um tipo especial de matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Esse tipo de matriz é muito importante no estudo da álgebra linear, pois permite definir conceitos como determinante, traço e matriz identidade, fundamentais para sistemas lineares, transformações geométricas e cálculo matricial.
Definição
Uma matriz \(A\) é dita quadrada se sua ordem for \(n \times n\), ou seja, possui o mesmo número de linhas e colunas:
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix} \]
Principais Propriedades
- Diagonal principal: formada pelos elementos \(a_{11}, a_{22}, …, a_{nn}\).
- Diagonal secundária: formada pelos elementos \(a_{1n}, a_{2,n-1}, …, a_{n1}\).
- Traço: soma dos elementos da diagonal principal (\(tr(A) = a_{11}+a_{22}+…+a_{nn}\)).
- Determinante: valor associado à matriz quadrada usado para verificar inversibilidade.
- Matriz identidade: matriz quadrada especial com 1 na diagonal principal e 0 nos demais elementos.
Exemplo Resolvido
Exemplo: Seja a matriz \(A=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}\). Calcule o determinante.
Solução:
\[ \det(A)=2\cdot 3 – 4\cdot 1 = 6-4=2 \]
Lista de Exercícios
1) Calcule o traço da matriz \(M=\begin{bmatrix}5 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 4 & 2 & 7\end{bmatrix}\).
Ver solução
O traço é a soma da diagonal principal: \(5+3+7=15\).
2) Determine o determinante da matriz \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\).
Ver solução
\[ \det(A)=1\cdot 4 – 3\cdot 2 = 4-6=-2 \]
3) Identifique a matriz identidade de ordem 3.
Ver solução
\[ I_3=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
