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Sistemas Lineares

Sistemas Lineares — Substituição, Adição, Cramer, Escalonamento, Matriz e Aplicações (passo a passo alinhado)

Sistemas Lineares — Guia Completo (passo a passo alinhado)

Classificação (SPD/SPI/SI) e resolução por Substituição, Adição, Regra de Cramer e Escalonamento de Gauss, além de representação matricial e aplicações. Todos os cálculos ficam um embaixo do outro com os sinais de igualdade alinhados horizontalmente para facilitar a leitura.

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Definição e Classificação

Um sistema linear é um conjunto de equações lineares nas mesmas incógnitas. Exemplo 2×2:

\[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1\\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \]

Classificação

  • SPD (possível determinado): única solução.
  • SPI (possível indeterminado): infinitas soluções.
  • SI (impossível): nenhuma solução.

Critério 2×2: \(\Delta=a_1b_2-a_2b_1\neq0\Rightarrow\) SPD. Se \(\Delta=0\) e compatível → SPI; se incompatível → SI.

Resolução por Substituição e Adição

Substituição

Exemplo: resolver \(\begin{cases} x+y=5\\ 2x-y=4\end{cases}\).
\[ \begin{aligned} x&=5-y\\ 2(5-y)-y&=4\\ 10-2y-y&=4\\ -3y&=-6\\ y&=2\\ x&=5-2=3 \end{aligned} \]
Solução: \((x,y)=(3,2)\) — SPD.

Adição (Eliminação)

Exemplo: \(\begin{cases} 2x+3y=12\\ 4x-3y=6 \end{cases}\).
\[ \begin{aligned} (2x+3y)+(4x-3y)&=12+6\\ 6x&=18\\ x&=3\\ 2(3)+3y&=12\\ 6+3y&=12\\ y&=2 \end{aligned} \]
Solução: \((3,2)\) — SPD.
Exercício (abre/fecha)
Resolva por adição: \(\begin{cases} 3x+2y=16\\ 5x-2y=4\end{cases}\).
\[ \begin{aligned} (3x+2y)+(5x-2y)&=16+4\\ 8x&=20\\ x&=\tfrac{20}{8}=\tfrac{5}{2}\\ 3\cdot\tfrac{5}{2}+2y&=16\\ \tfrac{15}{2}+2y&=16\\ 2y&=16-\tfrac{15}{2}=\tfrac{17}{2}\\ y&=\tfrac{17}{4} \end{aligned} \]

Resolução por Método de Cramer

Para sistemas \(n\times n\) com \(\det(A)\neq0\), \(x_i=\dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}\), onde \(A_i\) substitui a coluna \(i\) de \(A\) por \(b\).

Exemplo 2×2: \(\begin{cases} 2x+3y=12\\ 4x-3y=6\end{cases}\).
\[ \begin{aligned} \Delta&=\begin{vmatrix}2&3\\4&-3\end{vmatrix}\\ &=2(-3)-3\cdot4\\ &=-6-12\\ &=-18\\[6px] \Delta_x&=\begin{vmatrix}12&3\\6&-3\end{vmatrix}\\ &=12(-3)-3\cdot6\\ &=-36-18\\ &=-54\\[6px] \Delta_y&=\begin{vmatrix}2&12\\4&6\end{vmatrix}\\ &=2\cdot6-12\cdot4\\ &=12-48\\ &=-36\\[6px] x&=\dfrac{\Delta_x}{\Delta}=\dfrac{-54}{-18}=3\\ y&=\dfrac{\Delta_y}{\Delta}=\dfrac{-36}{-18}=2 \end{aligned} \]
Exercício (abre/fecha)
Use Cramer em \(\begin{cases} 3x-2y=7\\ 5x+y=19\end{cases}\).
\[ \begin{aligned} \Delta&=\begin{vmatrix}3&-2\\5&1\end{vmatrix}=3\cdot1-(-2)\cdot5=13\\ \Delta_x&=\begin{vmatrix}7&-2\\19&1\end{vmatrix}=7\cdot1-(-2)\cdot19=45\\ \Delta_y&=\begin{vmatrix}3&7\\5&19\end{vmatrix}=3\cdot19-7\cdot5=22\\ x&=\frac{45}{13},\quad y=\frac{22}{13} \end{aligned} \]

Resolução por Escalonamento (Eliminação de Gauss)

Escalone a matriz aumentada \([A|b]\) por operações elementares e faça a substituição regressiva.

Exemplo 3×3: \[ \begin{cases} x+y+z=6\\ 2x-y+3z=12\\ 3x+2y-z=5 \end{cases} \]
\[ \begin{aligned} &[A|b]= \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 2&-1&3&12\\ 3&2&-1&5 \end{array}\right]\\ &L_2\leftarrow L_2-2L_1,\quad L_3\leftarrow L_3-3L_1\\ &\Rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&-3&1&0\\ 0&-1&-4&-13 \end{array}\right]\\ &L_3\leftarrow L_3-\tfrac{1}{3}L_2\\ &\Rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&-3&1&0\\ 0&0&-\tfrac{13}{3}&-13 \end{array}\right]\\[4px] &-\tfrac{13}{3}z=-13\Rightarrow z=3\\ &-3y+z=0\Rightarrow -3y+3=0\Rightarrow y=1\\ &x+y+z=6\Rightarrow x=6-1-3=2 \end{aligned} \]
Solução: \((x,y,z)=(2,1,3)\) — SPD.
Exercício (abre/fecha)
Resolva por Gauss: \(\begin{cases} 2x+y-z=1\\ x-2y+3z=9\\ 3x+y+2z=13\end{cases}\).
\[ \begin{aligned} &\text{Use }(2)\text{ como pivô em }x:\quad x-2y+3z=9\\ &\Rightarrow x=9+2y-3z\\[6px] &\text{Substitua em }(1):\ 2x+y-z=1\\ &2(9+2y-3z)+y-z=1\\ &18+4y-6z+y-z=1\\ &5y-7z=-17\quad\text{(I)}\\[6px] &\text{Substitua em }(3):\ 3x+y+2z=13\\ &3(9+2y-3z)+y+2z=13\\ &27+6y-9z+y+2z=13\\ &7y-7z=-14\ \Rightarrow\ y-z=-2\ \Rightarrow\ y=z-2\quad\text{(II)}\\[6px] &\text{Em (I): }5(z-2)-7z=-17\\ &5z-10-7z=-17\\ &-2z=-7\ \Rightarrow\ z=\tfrac{7}{2}\\ &y=z-2=\tfrac{7}{2}-2=\tfrac{3}{2}\\ &x=9+2y-3z=9+3-\tfrac{21}{2}=\tfrac{3}{2} \end{aligned} \]
Solução: \((x,y,z)=\big(\tfrac{3}{2},\ \tfrac{3}{2},\ \tfrac{7}{2}\big)\).

Representação Matricial de Sistemas Lineares

Modelo \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\):

\[ \underbrace{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\ a_2&b_2\end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}}_{\mathbf{x}} = \underbrace{\begin{bmatrix}c_1\\ c_2\end{bmatrix}}_{\mathbf{b}}. \]

Rouché–Capelli: com \(r=\operatorname{rg}(A)\) e \(r’=\operatorname{rg}([A|b])\): SPD se \(r=r’=n\); SPI se \(r=r’

Exemplo rápido
\(\begin{cases} x+y=2\\ 2x+2y=4\end{cases}\Rightarrow r=r’=1<2\) ⇒ SPI (infinitas soluções na reta \(x+y=2\)).

Aplicações

1) Interseção de retas — encontre o ponto comum entre \(y=2x+1\) e \(y=-x+7\).
\[ \begin{aligned} 2x+1&=-x+7\\ 3x&=6\\ x&=2\\ y&=2(2)+1=5 \end{aligned} \]
Ponto: \((2,5)\).
2) Mistura/combinação (inteiros)
Pacote A: \(2\) prot. e \(1\) carb.; pacote B: \(1\) prot. e \(3\) carb. Forme 12 proteínas e 11 carboidratos.
\[ \begin{aligned} 2a + b &= 12\\ a + 3b &= 11\\ a&=11-3b\\ 2(11-3b)+b&=12\\ 22-6b+b&=12\\ -5b&=-10\\ b&=2\\ a&=11-3\cdot2=5 \end{aligned} \]
Logo, \(a=5\) e \(b=2\).
3) Preços de planos (abre/fecha)
Mensal \(m\), anual \(a=3m\). Em um mês: \(x+y=120\) vendas e receita \(mx+3my=10800\).
\[ \begin{aligned} x+y&=120\\ m(x+3y)&=10800\\ x&=120-y\\ m(120+2y)&=10800\\ y&=30\ \Rightarrow\ m=\frac{10800}{180}=60\\ a&=3m=180,\quad x=90 \end{aligned} \]
Preços: mensal R$ 60; anual R$ 180.

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Exercícios — múltipla escolha com soluções

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1) Substituição simples

Para \(\begin{cases} x+y=7\\ x-y=1\end{cases}\), o valor de \(x\) é:

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Somando as equações: \(2x=8\Rightarrow x=4\).

2) Classificação

\(2x+4y=8\) e \(x+2y=4\) definem um sistema:

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As equações são proporcionais (\(\Delta=0\)) e compatíveis ⇒ SPI.

3) Critério do determinante (2×2)

Para \(\begin{cases} 2x+3y=5\\ 4x+6y=1\end{cases}\), a classificação é:

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\(\Delta=2\cdot6-4\cdot3=0\) e as constantes não são proporcionais ⇒ SI.

4) Regra de Cramer

No sistema \(\begin{cases}3x+2y=11\\5x-y=14\end{cases}\), a solução é:

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De \(5x-y=14\Rightarrow y=5x-14\). Substituindo: \(3x+2(5x-14)=11\Rightarrow 13x=39\Rightarrow x=3\), \(y=1\).

5) Escalonamento (resultado)

Para \(\begin{cases} x+y+z=6\\ 2x-y+3z=12\\ 3x+2y-z=5\end{cases}\), a solução é:

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Pelo Gauss do exemplo: \((x,y,z)=(2,1,3)\).

6) Rouché–Capelli

Num sistema \(3\times3\), se \(r(A)=2\) e \(r([A|b])=3\), então o sistema é:

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\(r\neq r’\Rightarrow\) incompatível ⇒ SI.

7) Aplicação: interseção

As retas \(y=2x+1\) e \(y=-x+7\) cruzam-se em \(y=\):

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Do exemplo: \(x=2\Rightarrow y=2(2)+1=5\).

8) Escolha de método

No sistema \(\begin{cases}2x+3y=12\\ 4x-3y=6\end{cases}\), qual método elimina diretamente \(y\) ao somar as equações?

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Somando, \(+3y\) e \(-3y\) se cancelam ⇒ Adição.
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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.
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