Equação Linear
Nesta página você aprende o que é uma equação linear, como escrevê-la na forma geral, interpretações geométricas (reta), exemplos resolvidos e exercícios de fixação. É conteúdo base para o ENEM e vestibulares. Para revisar outros tópicos, veja nossos mapas mentais e o banco de questões.
Toda equação que pode ser escrita como \(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b\), em que \(a_1,a_2,\ldots,a_n,b\in\mathbb{R}\) e \(x_1,\ldots,x_n\) são incógnitas, é chamada de equação linear.
Casos clássicos (1 e 2 variáveis)
- Uma variável: \(ax=b\) (com \(a\neq0\)) tem solução única \(x=\dfrac{b}{a}\).
- Duas variáveis: \(ax+by=c\) representa uma reta no plano. Na forma explícita \(y=mx+n\), o coeficiente angular é \(m=-\dfrac{a}{b}\) (com \(b\neq0\)) e o linear \(n=\dfrac{c}{b}\).
Exemplo 1 — Encontrar a inclinação (coeficiente angular)
Dada a reta que passa pelos pontos \(P_1(x_1,y_1)=(2,1)\) e \(P_2(x_2,y_2)=(5,7)\), calcule o coeficiente angular \(m\).
Substituindo: \(m=\dfrac{7-1}{5-2}=\dfrac{6}{3}=2\). Logo, uma forma explícita é \(y=2x+n\). Usando \(P_1(2,1)\): \(1=2\cdot2+n\Rightarrow n=-3\). A equação fica \(y=2x-3\) ou \(2x-y-3=0\).
Exemplo 2 — Forma geral \(\rightarrow\) forma explícita
Converta \(3x+2y=12\) para a forma \(y=mx+n\) e identifique interceptos.
\(2y=12-3x \Rightarrow y=-\dfrac{3}{2}x+6\). Interceptos: com \(x=0\), \(y=6\); com \(y=0\), \(x=4\).
Exemplo 3 — Em três variáveis
A equação \(3x+2y+z=12\) é linear (em \(\mathbb{R}^3\)) e descreve um plano. Uma solução possível: tome \(y=0\) e \(z=0\) \(\Rightarrow x=4\). Outra: \(x=0,z=0\Rightarrow y=6\). O conjunto de soluções é infinito.
Propriedades úteis
- Somar um múltiplo de uma equação linear a outra mantém o conjunto de soluções do sistema (operações elementares).
- Equações proporcionais \(ax+by=c\) e \(\lambda a\,x+\lambda b\,y=\lambda c\) têm a mesma reta (mesmo conjunto de soluções).
- No plano, duas equações lineares independentes representam retas que se cruzam em um único ponto (solução única do sistema).
Exercícios Resolvidos
Exercício 1: Escreva a equação da reta que passa por \(A(1,4)\) e \(B(3,0)\) na forma \(y=mx+n\).
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\(m=\dfrac{0-4}{3-1}=\dfrac{-4}{2}=-2\). Com \(A(1,4)\): \(4=-2\cdot1+n\Rightarrow n=6\). Logo, \(y=-2x+6\) (ou \(2x+y-6=0\)).
Exercício 2: Converta \(5x-2y=10\) para a forma explícita e identifique \(m\) e \(n\).
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\(-2y=10-5x \Rightarrow y=\dfrac{5}{2}x-5\). Assim, \(m=\dfrac{5}{2}\) e \(n=-5\).
Exercício 3: Determine uma solução do plano \(2x+y+3z=12\) com \(z=2\).
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Substitua \(z=2\): \(2x+y+3\cdot2=12\Rightarrow2x+y=6\). Por exemplo, \(x=2\Rightarrow y=2\). Uma solução é \((x,y,z)=(2,2,2)\).
Exercício 4: Encontre o ponto de interseção do sistema \(\begin{cases}2x+y=7\\x-y=1\end{cases}\).
Mostrar solução
Da segunda: \(x=1+y\). Substituindo na primeira: \(2(1+y)+y=7\Rightarrow 2+2y+y=7\Rightarrow3y=5\Rightarrow y=\dfrac{5}{3}\). Então \(x=1+\dfrac{5}{3}=\dfrac{8}{3}\). Interseção: \(\left(\dfrac{8}{3},\,\dfrac{5}{3}\right)\).
Aplicações rápidas
- Custo/Receita/Lucro: \(C(q)=aq+b\) é linear na quantidade \(q\); a inclinação indica custo marginal.
- Física: MRU \(s(t)=vt+s_0\) é linear no tempo \(t\) (reta no gráfico \(s\times t\)).
- Geometria Analítica: retas paralelas possuem o mesmo \(m\); perpendiculares têm produtos dos coeficientes angulares igual a \(-1\) (\(m_1m_2=-1\), com \(m_i\neq0\)).
Conclusão
A equação linear é a linguagem padrão para descrever retas (em 2D) e planos (em 3D), além de inúmeros modelos em ciências exatas. Dominar forma geral, conversões e interpretação geométrica simplifica a resolução de sistemas e problemas contextualizados do ENEM.
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