Equações Lineares Equivalentes
Neste guia você vai entender, de forma objetiva, quando duas equações lineares (ou dois sistemas lineares) são equivalentes, isto é, quando descrevem o mesmo conjunto de soluções. O tema aparece com frequência no ENEM e em vestibulares. Para bases teóricas, veja também: Equação linear e Equação linear homogênea.
Exemplos passo a passo
Exemplo 1 — Multiplicar por constante não nula
Considere \(4x+y-2z=-7\). Multiplicando ambos os lados por \(-2\) obtemos \(-8x-2y+4z=14\). Como \(-2\neq0\), as duas equações são equivalentes (têm o mesmo conjunto de soluções). Por exemplo, \(x=0,y=0,z=\tfrac{7}{2}\) satisfaz ambas.
Exemplo 2 — Reta no plano: mesma inclinação e mesmo intercepto
\(3x+2y=12 \Rightarrow y=-\tfrac{3}{2}x+6\). \(-6x-4y=-24 \Rightarrow y=-\tfrac{3}{2}x+6\). Conclusão: representam a mesma reta, logo são equivalentes.
Exemplo 3 — Sistema equivalente (operação de linha)
Sistema inicial: \(\begin{cases}x+y=3\\2x+3y=8\end{cases}\). Aplique \(L_2\leftarrow L_2-2L_1\): nova 2ª equação: \(y=2\). Sistema equivalente: \(\begin{cases}x+y=3\\y=2\end{cases}\), cuja solução é \(x=1,\,y=2\).
Exercícios resolvidos
Exercício 1: Qual das opções é equivalente a \(5x-3y=12\)?
- a) \(10x-6y=24\)
- b) \(5x-3y=10\)
- c) \(-15x+9y=-30\)
- d) \(15x-9y=36\)
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Multiplicando a equação original por \(2\) obtemos \(10x-6y=24\) (equivalente). As demais não são múltiplos não nulos exatos do lado esquerdo e do direito simultaneamente. Resposta: a)
Exercício 2: Diga se \(2x+4y=8\) e \(x+2y=4\) são equivalentes.
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Dividindo a primeira por \(2\) (constante não nula) obtemos \(x+2y=4\). Logo, são equivalentes.
Exercício 3: A partir do sistema \(\begin{cases}x+2y=7\\3x+5y=16\end{cases}\), aplique a operação \(L_2\leftarrow L_2-3L_1\) e escreva um sistema equivalente.
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Nova 2ª equação: \((3x+5y)-3(x+2y)=3x+5y-3x-6y=-y\). No termo independente: \(16-3\cdot7=16-21=-5\). Assim, \( -y=-5 \Rightarrow y=5\). Sistema equivalente: \(\begin{cases}x+2y=7\\y=5\end{cases}\) \(\Rightarrow x=-3\).
Exercício 4: Verifique se \(3x-y=6\) e \(9x-3y=15\) são equivalentes.
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Se multiplicarmos \(3x-y=6\) por \(3\), obtemos \(9x-3y=18\), que não coincide com \(9x-3y=15\). Portanto, as equações não são equivalentes (conjuntos de soluções diferentes).
Exercício 5: Mostre que \(-8x-2y+4z=14\) é equivalente a \(4x+y-2z=-7\).
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Multiplicando \(4x+y-2z=-7\) por \(-2\) (constante não nula), obtemos \(-8x-2y+4z=14\). Logo, as equações são equivalentes.
Conclusão
Equações (ou sistemas) lineares equivalentes descrevem exatamente o mesmo conjunto de soluções. Para reconhecê-las, verifique se uma pode ser obtida da outra por multiplicação por constante não nula (equações) ou por operações elementares de linha (sistemas). Dominar esse critério simplifica a resolução de problemas e a checagem de resultados em provas como o ENEM.
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