Classificação de sistemas lineares
Neste guia você aprende a classificar um sistema linear como SPD (possível e determinado), SI (impossível) ou SPI (possível e indeterminado). Usaremos a Regra de Rouché–Capelli (comparando o posto da matriz dos coeficientes com o posto da matriz aumentada) e também a leitura geométrica no plano: retas que se cruzam (SPD), paralelas distintas (SI) e coincidentes (SPI). Para revisar teoria base, veja ENEM Matemática, mapas mentais e o banco de questões.
- \(r\neq r^*\) → SI (sem solução).
- \(r=r^*=n\) → SPD (solução única).
- \(r=r^*<n\) → SPI (infinitas soluções; \(n-r\) variáveis livres).
| Sigla | Nome | Geometria (2×2) | Conjunto de soluções |
|---|---|---|---|
| SPD | Possível e Determinado | Retas com interseção única | Um único ponto |
| SI | Sistema Impossível | Retas paralelas distintas | Vazio |
| SPI | Possível e Indeterminado | Retas coincidentes | Infinito (reta/plano etc.) |
Exemplos rápidos
Exemplo 1 — SPD (solução única)
\(\begin{cases}x+y=6\\2x-3y=2\end{cases}\).
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Da 1ª: \(y=6-x\). Em \(2x-3(6-x)=2\Rightarrow 2x-18+3x=2\Rightarrow 5x=20\Rightarrow x=4\). Logo \(y=2\). SPD com solução \((4,2)\).
Exemplo 2 — SI (sem solução)
\(\begin{cases}x-2y=2\\2x-4y=0\end{cases}\).
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Multiplicando a 1ª por \(2\) dá \(2x-4y=4\), que contradiz a 2ª \(2x-4y=0\). Assim \(r\neq r^*\). SI.
Exemplo 3 — SPI (infinitas soluções)
\(\begin{cases}-x+2y=1\\3x-6y=-3\end{cases}\).
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A 2ª é \(-3\) vezes a 1ª: mesma reta \(\Rightarrow r=r^*=1<2\). SPI. Parametrização: da 1ª \(x=2y-1\) com \(y=t\) \(\Rightarrow (x,y)=(2t-1,t)\).
Exercícios (com soluções)
Exercício 1: Classifique e, se houver, resolva \(\begin{cases}x+2y=7\\2x+4y=15\end{cases}\).
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Dobrando a 1ª: \(2x+4y=14\) ≠ \(15\). Contradição \(\Rightarrow r\neq r^*\) \(\Rightarrow\) SI.
Exercício 2: Classifique e resolva \(\begin{cases}3x-y=6\\9x-3y=18\end{cases}\).
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A 2ª é \(3\)× a 1ª \(\Rightarrow r=r^*=1<2\). SPI. Da 1ª: \(y=3x-6\). Parametrização: \(x=t\Rightarrow (x,y)=(t,3t-6)\).
Exercício 3: Classifique e resolva \(\begin{cases}2x+y=5\\x-y=1\end{cases}\).
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Da 2ª: \(x=1+y\). Em \(2(1+y)+y=5\Rightarrow 2+3y=5\Rightarrow y=1\). Então \(x=2\). SPD com \((2,1)\).
Exercício 4: Para o sistema em três incógnitas \(\begin{cases}x+y+z=3\\2x+2y+2z=6\\x-y+z=1\end{cases}\), classifique e descreva o conjunto solução.
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A 2ª é \(2\)× a 1ª \(\Rightarrow r\le 2\). Subtraindo a 1ª da 3ª: \(-2y=-2\Rightarrow y=1\). Então \(x+z=2\). Parametrizando \(z=t\Rightarrow x=2-t\). SPI com \((x,y,z)=(2-t,\,1,\,t)\).
Exercício 5: Resolva e classifique \(\begin{cases} x+y+z=6\\ 2x-y+z=5\\ x+2y-z=4 \end{cases}\).
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Da 1ª: \(z=6-x-y\). Em \(2x-y+(6-x-y)=5\Rightarrow x-2y=-1\Rightarrow x=2y-1\). Em \(x+2y-(6-x-y)=4\Rightarrow 7y-8=4\Rightarrow y=\tfrac{12}{7}\). Logo \(x=2\cdot\tfrac{12}{7}-1=\tfrac{17}{7}\) e \(z=6-\tfrac{17}{7}-\tfrac{12}{7}=\tfrac{13}{7}\). SPD com \(\left(\tfrac{17}{7},\tfrac{12}{7},\tfrac{13}{7}\right)\).
Conclusão
Para classificar rapidamente um sistema: compare os postos \(r\) e \(r^*\) (Rouché–Capelli) e, em \(2\times2\), use a leitura geométrica: intersecção única (SPD), paralelas distintas (SI) ou coincidentes (SPI). Dominar esses critérios acelera a resolução com eliminação de Gauss e evita erros comuns em provas do ENEM.
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