Taxa de variação média
Definição, interpretação geométrica, unidades, exemplos e exercícios resolvidos.
A taxa de variação média de uma função f entre dois pontos x1 e x2 (x1 ≠ x2) mede quanto o y muda por unidade de x nesse intervalo. Ela é a inclinação da reta secante que liga (x1, f(x1)) a (x2, f(x2)). Relembre também: Plano Cartesiano, Gráfico de uma Função e Funções crescente, decrescente e constante.
Leitura rápida e significado
- Sinal: positiva ⇒ f aumenta no intervalo; negativa ⇒ f diminui; zero ⇒ f ficou constante “em média”.
- Unidades: “unidade de y por unidade de x”. Exemplos: km/h, R$/item, °C/h.
- Reta y = m x + b: a taxa média em qualquer intervalo é sempre m.
- Relação com derivada: quando encurtamos o intervalo (x2 → x1), a taxa média tende à taxa instantânea (derivada), se existir.
Exemplos resolvidos
1) Função afim
f(x) = 4x − 7. Entre x = 2 e x = 5:
Taxa média = (f(5) − f(2)) / (5 − 2) = ((20 − 7) − (8 − 7)) / 3 = (13 − 1) / 3 = 12/3 = 4.
2) Quadrática
g(x) = x2 − 5x + 6. Entre x = 1 e x = 4:
g(1)=2, g(4)=2 ⇒ (2 − 2)/(4 − 1) = 0 ⇒ 0 (houve descida e subida que se “anulam” no intervalo).
3) Contexto prático (velocidade média)
Um carro parte do repouso e após 3 h percorreu 210 km. Velocidade média = 210 / 3 = 70 km/h (mesmo que a velocidade não tenha sido constante).
4) Sinal negativo
h(x) = −x2 em [−1, 2]: h(2)=−4, h(−1)=−1 ⇒ (−4 − (−1))/(2 − (−1)) = (−3)/3 = −1.
Quadro-resumo
| Ideia | Como calcular | Como interpretar |
|---|---|---|
| Inclinação da secante | (f(x2) − f(x1)) / (x2 − x1) | Variação “por unidade de x” no intervalo |
| Sinal | Resultado > 0, < 0 ou = 0 | Aumenta, diminui ou fica constante em média |
| Unidades | Depende de y e de x | km/h, R$/unidade, °C/h, etc. |
| Reta y = mx + b | Taxa média = m | Independe do intervalo |
| Ligação com derivada | Limite de Δy/Δx quando Δx → 0 | Taxa instantânea (se existir) |
Armadilhas comuns
- Confundir média com instantânea: média usa um intervalo; instantânea é o limite quando o intervalo vai a zero.
- Unidades: nunca esqueça de informar (ex.: “reais por item”).
- Ordem dos pontos: use (x2 − x1) e (f(x2) − f(x1)) consistentes — inverter muda o sinal.
- Intervalos com subida e descida: a taxa média pode dar zero mesmo com grande “movimento”.
Exercícios (múltipla escolha) com solução
1) Para f(x)=2x2−3x+1, a taxa média no intervalo [1,3] é:
- 1
- 3
- 5
- 7
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2) A receita R(q)=150q−q2 (em R$) de q=10 a q=20 tem taxa média (R$/unidade):
- 100
- 110
- 120
- 130
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3) Uma fábrica passa de 200 para 260 peças em 4 horas. A taxa média de produção (peças/h) é:
- 10
- 12
- 15
- 20
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4) Para y=|x|, a taxa média entre x=−2 e x=3 é:
- 0
- 1/5
- 5/2
- 2/5
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5) Se a distância (km) é d(t)=40t+10 (t em horas), a taxa média de 1 h a 4 h é:
- 10 km/h
- 40 km/h
- 50 km/h
- 160 km/h
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6) Sobre taxa média e derivada, marque a opção correta:
- São sempre iguais.
- A taxa média depende de dois pontos; a derivada é o limite quando um ponto se aproxima do outro.
- Taxa média só existe para retas.
- Derivada não tem unidades físicas.
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Continue estudando (links internos)
• Gráfico de uma Função
• Funções crescente, decrescente e constante
• Plano Cartesiano
• ENEM Matemática
• Coleção 10 eBooks de Matemática
