Funções inversas
Quando a inversa existe, como encontrá-la e como interpretar no gráfico e nos conjuntos.
Se \(f:A\to B\) é uma função, sua inversa \(f^{-1}:B\to A\) “desfaz” a ação de \(f\). Na prática, invertemos pares ordenados: \((x,y)\) em \(f\) vira \((y,x)\) em \(f^{-1}\).
Condições e propriedades
- Gráfico: o gráfico de \(f^{-1}\) é o de \(f\) refletido na reta \(y=x\).
- Teste da reta horizontal: se toda reta horizontal corta o gráfico de \(f\) no máx. 1 ponto no intervalo, \(f\) é injetiva ali \(\Rightarrow\) inversa (como função) existe nesse intervalo.
Passo a passo para achar \(f^{-1}\)
- Escreva \(y=f(x)\).
- Troque \(x\) por \(y\) e \(y\) por \(x\).
- Resolva para \(y\). O resultado é \(f^{-1}(x)\).
- Ajuste domínio/contradomínio se necessário (trocam de lugar).
Exemplos resolvidos
1) Linear
\(f(x)=3x-7\) (\(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)).
\(y=3x-7\Rightarrow x=\dfrac{y+7}{3}\Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{x+7}{3}\). Bijeção, logo \(D(f^{-1})=\mathbb{R}\) e \(\operatorname{Im}(f^{-1})=\mathbb{R}\).
2) Exponencial e log
\(g(x)=e^x:\ \mathbb{R}\to(0,\infty)\). Inversa \(g^{-1}(x)=\ln x:\ (0,\infty)\to\mathbb{R}\). Domínios/Imagens trocam perfeitamente.
3) Quadrática com restrição
\(h(x)=x^2\) não é injetiva em \(\mathbb{R}\). Restrinja a \(x\ge0\): \(h:[0,\infty)\to[0,\infty)\) fica bijetiva e \(h^{-1}(x)=\sqrt{x}\).
4) Valor absoluto com restrição
\(p(x)=|x-2|\) não é injetiva em \(\mathbb{R}\). Em \(x\ge2\), \(p(x)=x-2\Rightarrow p^{-1}(x)=x+2\) (domínio da inversa: \([0,\infty)\)). Em \(x\le2\), \(p(x)=2-x\Rightarrow p^{-1}(x)=2-x\) (domínio da inversa: \([0,\infty)\)).
5) Racional (Möbius)
\(F(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) com \(ad-bc\neq0\). Troque \(x\leftrightarrow y\) e isole \(y\):
\[ x=\frac{ay+b}{cy+d}\ \Rightarrow\ x(cy+d)=ay+b \ \Rightarrow\ y=\frac{dx-b}{-cx+a}. \] Domínios: \(x\neq -d/c\) em \(F\) e \(x\neq a/c\) em \(F^{-1}\).
Tabela rápida (originais ↔ inversas)
| \(f(x)\) | Domínio \(\to\) Imagem | \(f^{-1}(x)\) | Domínio \(\to\) Imagem |
|---|---|---|---|
| \(ax+b\) (\(a\ne0\)) | \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) | \(\dfrac{x-b}{a}\) | \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) |
| \(e^x\) | \(\mathbb{R}\to(0,\infty)\) | \(\ln x\) | \((0,\infty)\to\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n\) ímpar) | \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) | \(\sqrt[n]{x}\) | \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) |
| \(x^2\) com \(x\ge0\) | \([0,\infty)\to[0,\infty)\) | \(\sqrt{x}\) | \([0,\infty)\to[0,\infty)\) |
| \(\ln x\) | \((0,\infty)\to\mathbb{R}\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\to(0,\infty)\) |
| \(\dfrac{ax+b}{cx+d}\) | \(\mathbb{R}\!\setminus\!\{-d/c\}\to\mathbb{R}\!\setminus\!\{a/c\}\) | \(\dfrac{dx-b}{-cx+a}\) | \(\mathbb{R}\!\setminus\!\{a/c\}\to\mathbb{R}\!\setminus\!\{-d/c\}\) |
Exercícios (múltipla escolha) com solução
1) Encontre a inversa (quando existir) de \(f(x)=5x+2\) em \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\).
- \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{5}\)
- \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-2}{5}\)
- \(f^{-1}(x)=5x-2\)
- Não existe inversa
Ver solução
2) \(g(x)=x^2\) é invertível como função \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)?
- Sim, inversa \(\sqrt{x}\)
- Sim, inversa \(\pm\sqrt{x}\)
- Não, pois não é injetiva em \(\mathbb{R}\)
- Sim, inversa \(|x|\)
Ver solução
3) A inversa de \(h(x)=\ln(x-1)\) com domínio \((1,\infty)\) é:
- \(h^{-1}(x)=e^x-1\)
- \(h^{-1}(x)=e^{x+1}\)
- \(h^{-1}(x)=\ln(x)+1\)
- \(h^{-1}(x)=e^x+1\)
Ver solução
4) \(p(x)=\dfrac{2x-3}{x+1}\). Qual é \(p^{-1}(x)\)?
- \(\dfrac{3x+2}{1-x}\)
- \(\dfrac{3x+2}{x-1}\)
- \(\dfrac{x+3}{2-x}\)
- \(\dfrac{x+3}{x-2}\)
Ver solução
5) O gráfico de \(f^{-1}\) pode ser obtido a partir do gráfico de \(f\) por:
- Reflexão em torno do eixo \(x\)
- Reflexão em torno do eixo \(y\)
- Reflexão na reta \(y=x\)
- Translação vertical
Ver solução
6) Qual par é de funções inversas no domínio indicado?
- \(x^2\) e \(\sqrt{x}\) em \(\mathbb{R}\)
- \(e^x\) e \(\ln x\) em \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)
- \(x^3\) e \(\sqrt[3]{x}\) em \(\mathbb{R}\)
- \(|x|\) e \(x\) em \(\mathbb{R}\)
Ver solução
Continue estudando (links internos)
• Função bijetiva
• Função injetiva • Função sobrejetiva
• Gráfico de uma Função • Domínio e Imagem
• Coleção 10 eBooks • eBook Fórmulas Matemática • ENEM Matemática • Banco de Questões • Mapas Mentais
